信息处理 - AM 调制信号的 FFT - 吾爱随笔录

AM 调制信号的 FFT

信息处理 fft 声音调幅

2022-02-03 12:27:04

我正在生成一个 AM 调制正弦波。载波频率设置为；调制频率设置为和的幅度被调制。 $1000 \ \rm Hz$ $40 \ \rm Hz$ $100 \%$

我用 2 个稍微不同的方程生成了 2 个信号。

信号 1 如下： $\sin (2 π f_{m} t) \cdot \sin (2 π f_{c} t)$ $\sin(2\pi f_m t) \cdot \sin(2\pi f_c t)$
而信号 2 如下： $(1 - \sin (2 π f_{m} t)) \cdot \sin (2 π f_{c} t)$ $\big(1-\sin(2\pi f_m t)\big) \cdot \sin(2\pi f_c t)$

我不明白为什么第一个信号在 FFT 上没有分量，为什么两个信号没有相同的周期。 $1 \ \rm kHz$

\ sin和具有相同的周期，我可以看到信号 1 具有同相的幅度正弦和载波正弦，但我无法理解这些图并解释他们正确。感谢您提供的所有信息和解释:) $\sin(x)$ $1-\sin(x)$

产生 2 个信号的代码片段：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import os

#%% Signal 1
fs = 44100        # sampling rate, Hz, must be integer
duration = 1.0    # in seconds, may be float

# Define the time series
t = np.linspace(0, duration, int(duration*fs), endpoint=False) # time variable

# AM - Amplitude Modulation
fm = 40 # Modulation frequency
amplitude = np.sin(2*np.pi*fm*t)

# Output signal
fc = 1000 # Carrier frequency
signal1 = amplitude * np.sin(2*np.pi*fc*t).astype(np.float32)

# Apply FFT
fft_freq1 = np.fft.rfftfreq(signal1.shape[0], 1.0/44100)
fft1 = np.abs(np.fft.rfft(signal1))

#%% Signal 2
fs = 44100        # sampling rate, Hz, must be integer
duration = 1.0    # in seconds, may be float

# Define the time series
t = np.linspace(0, duration, int(duration*fs), endpoint=False) # time variable

# AM - Amplitude Modulation
fm = 40 # Modulation frequency
amplitude = np.sin(2*np.pi*fm*t)

# Output signal
fc = 1000 # Carrier frequency
signal2 = (1-amplitude) * np.sin(2*np.pi*fc*t).astype(np.float32)

# Apply FFT
fft_freq2 = np.fft.rfftfreq(signal2.shape[0], 1.0/44100)
fft2 = np.abs(np.fft.rfft(signal2))

#%% Plot
f, ax = plt.subplots(2, 3, sharex=False)
ax[0, 0].plot(t[:4411], signal1[:4411])
ax[0, 0].set_title('Signal 1')
ax[1, 0].plot(t[:4411], signal2[:4411])
ax[1, 0].set_title('Signal 2')

ax[0, 2].plot(fft_freq1[900:1101], fft1[900:1101])
ax[0, 2].set_title('Signal 1 FFT')
ax[1, 2].plot(fft_freq2[900:1101], fft2[900:1101])
ax[1, 2].set_title('Signal 2 FFT')

ax[0, 1].plot(t[:4411], amplitude[:4411])
ax[0, 1].set_title('Signal 1 AM')
ax[1, 1].plot(t[:4411], (1-amplitude)[:4411])
ax[1, 1].set_title('Signal 2 AM')

3个回答

AM调制信号有两种定义

第一个称为经典AM（或传统AM），由下式给出

\begin{matrix} (1) & x_{A M} (t) = (A_{c} + m (t)) \cdot \cos (2 π f_{c} t) \end{matrix}

$x_{AM}(t) = (A_c + m(t)) \cdot \cos(2\pi f_c t) \tag{1}$

第二个称为 DSB-SC（双边带抑制载波），由下式给出：

\begin{matrix} (2) & x_{A M} (t) = m (t) \cdot \cos (2 π f_{c} t) \end{matrix}

$x_{AM}(t) = m(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) \tag{2}$

在您的代码中，第一个示例使用 Eq.2 (DSB-SC)，第二个示例使用 Eq.1（经典 AM）。它们的区别在于，第一个除了调制信号频谱（边带尖峰）外，还包括输出端然而，后一种 DSB-SC 仅包括调制信号边带频谱而不包括载波频谱，因此称为抑制载波。 $f_c$

DSB-SC 的优点是传输能量减少，因为永久辐射的载波能量被节省，从而产生更有效的传输。传统 AM 的广播能效较低，但其优势在于其解调（通过模拟硬件）非常简单，除了天线接收器外，还需要所谓的包络检波器（二极管、电容器和电阻）和音频放大器电路）。

信号的时域乘法，每个信号只有几个正弦分量的总和，很容易理解为频域卷积：

首先显示您的信号 1：

\sin (2 π f_{m} t) \cdot \sin (2 π f_{c} t),

$\sin(2\pi f_m t) \cdot \sin(2\pi f_c t),$

然后你的信号2：

(1 - \sin (2 π f_{m} t)) \cdot \sin (2 π f_{c} t),

$\big(1-\sin(2\pi f_m t)\big) \cdot \sin(2\pi f_c t),$

注意到 $\cos(x) = \frac{1}{2}e^{-ix} + \frac{1}{2}e^{ix}$ 将每个真实正弦波分成负频率分量和正频率分量。

我只在插图中显示了组件的大小。由于没有一个分量在光谱上重合，因此分量的相位并不重要，因此您也可以说余弦而不是正弦，并且绘图仍然是相同的。

频域还给出了信号的周期性属性的视图。具有基本周期的周期信号 $P$ 也是周期性的，任何周期都是 $P$ ，所以我们在表征信号时应该区分周期和基本周期。基本周期是信号的最短周期。具有基本周期的周期信号 $P$ 只能由在信号的基本周期上恰好有一个周期的频率的谐波频率组成。这个频率是倒数 $1/P$ 的基本时期。换句话说，对于一个信号是周期性的，它的傅里叶变换除了在信号基本周期的倒数的倍数处之外，在任何地方都必须是零值。

以下频域图中的刻度线表示频率是基本周期倒数的倍数。刻度线以包含频率 0 的最不密集的规则梳状图案排列。选择最不密集的图案来捕捉基本周期而不是更长的周期。

两个信号的刻度线模式不同，因此两个信号的基本周期不同。

但是，插图还显示，这两个信号都是周期性的，其周期是信号 2 的基本周期。信号 2 的刻度线图案也捕获了信号 1 中存在的所有频率。

时域目视检查确认发现（信号，其基本周期显示为垂直线；蓝色：信号 1，红色：信号 2）：

它们确实有一个 1Khz 分量，但不是通过傅立叶透镜。

为了看看发生了什么，让我们用纯载波音叠加 AM 信号：

左图揭示了两种 AM 方案之间的关键区别：极性。右仅是正数，左是零中心并翻转符号。这种符号反转的效果是，载体的“摆动”过早地翻转极性。红线表示当 AM 从 (+) 变为 (-) 时；如果没有这个符号反转，我们在样本 32 处有一个可能的正峰值（就像蓝色纯色调一样） -有了它，它现在是负的。

这“愚弄”了傅立叶分解，使其认为它是“更多周期”，因为这就是在固定幅度结构下更快地达到负峰值的原因。物理过程仍然非常多 $f=2, 20$ .

因此，我们看到的频谱是必须将信号表示为固定幅度频率之和的结果。这种傅立叶结构既不是最有意义的，也不是最有用的；我在这个答案中提供了更多的直觉，以及更多关于为什么 FFT 会在这里和这里误导；忽略反对票。

警告：如果您计算橙色峰，在任何一种情况下都不会找到 40；鉴于 AM，每个都有自己的解释。从物理意义上讲，将 AM 从全局上与载波解耦可能没有意义——例如，考虑在 AM 为零的右侧绘图向边缘或正中心发生的情况；振荡“跳跃”，改变了基本周期的“平均频率”。左边的情况显示更多的峰值，再次每个极性翻转。您可以在此处找到更多详细信息。

此外，即使在“表现良好”的区域（远离 AM 零点），您也会发现橙色的周期稍多一些；然后它可能会因用途而异，但在幅度去耦框架中，这反映为略高的载波频率，再次比傅立叶更合理。最后，可以说两者都没有处理此案 $f_m \rightarrow f_c$ 在辨别什么是“载体”与“调制器”方面做得很好。

关于声音：为了预测我们如何听到AM 波形，傅里叶分解确实是合适的，因为听觉处理是通过固定幅度正弦分解（尽管并非总是如此）准确建模的，而幅度解耦分解将不适用。

Re: period基本周期可能存在差异 $T$ ，但两者仍将共享一个非基本期。换句话说，预期的周期性并不一定会消失，而是由于 AM 向其中一个信号而不是另一个信号引入了一个较小的周期。这又可以从 AM 极性来理解。

注意我说的是“可能”；我的虚拟示例显示了两者如何共享基本周期，但这在 OP 的示例中不会发生。如果我们设置 $f_m=100$ ，这一点得到证实。Olli 的回答公平地展示了如何从 FT 预测精确的周期性。

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