由于信号是离散的并且操作是线性的，因此使用滤波器形成。

假设信号由给出。 那么它的导数由下式给出：$x \left[ n \right]$

$$y \left[ n \right] = \frac{ x \left[ n \right] - x \left[ n - 1 \right] }{ \frac{1}{5000} }$$

由于样本是独立的，因此 STD 由下式给出：$x \left[ n \right]$

$$\operatorname{Var} \left( y \left[ n \right] \right) = \sqrt{ {5000}^{2} \cdot \left( {0.1}^{2} + {0.1}^{2} \right) } = 707.1068$$

这也将使用具有相应系数的滤波器匹配计算。因此很容易使它适用于任何订单。

正如 pichenettes 的回答中所指出的，您需要更多地了解原始信号。如果信号的功率谱已知，则其导数的功率谱为$x(t)$$S_x(\omega)$$n^{th}$

$$S_y(\omega)=\omega^{2n}S_x(\omega)$$

导数的幂计算为$n^{th}$

$$E\{|y(t)|^2\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^{2n}S_x(\omega)d\omega\tag{1}$$

（假设积分收敛，例如假设是带限的）。由于导数的均值为零（即使原始信号的均值不是），的方差等于它的幂，因此标准差是 (1) 中表达式的平方根。$x(t)$$y(t)$

这取决于信号的频率成分。

考虑幅度为 1、频率为 1Hz 和 1kHz 的正弦信号。两者具有相同的标准偏差，但它们的导数的标准偏差是不同的——后者的标准偏差是后者的 1000 倍。