详细说明 Dilip 的答案（这是完全正确的，尽管在实践中Ziggurat 方法的计算效率比 Box-Mueller 高得多）：

你的推理中缺少的一个关键因素是你是否希望你的样本是独立的。从您的问题中不清楚，但这是最常见的情况......

如果您希望您的样本是独立的，那么您将不得不接受它们的经验均值和方差不会完全为 0 和 1 - 众所周知，样本越大，经验值越接近 0、1 - 这绝对没问题 - 这是正态分布的“特征”而不是“错误”。尝试选择看起来更“随机”或“表现良好”的样本是个坏主意；因为这个选择过程使它们变得不那么随机了！例如，如果你想出一个过程总是产生 2048 个样本块，其中和$\mu = 0$$\sigma = 1$，这意味着在您的生成过程中只有 2046 个可能的自由度，因此您的样本不是独立的（给定 2046 个第一个样本，您可以使用和 equation...所以这最后两个值不是随机的！）。$\mu = 0$$\sigma = 1$

Dilip 和 pichenettes 已经指出了两种生成高斯随机变量的方法（Box-Muller 变换和Ziggurat 算法）。为了完整起见，我将指出另一个：逆变换采样。我最近需要创建一个最大吞吐量的软件高斯随机数生成器，在评估了我能找到的所有方法之后，我选择了这个，因为它被证明是目标系统上最快的。

逆变换采样的想法是，您从一个基本随机生成器开始，该生成器在某个区间内产生均匀的值，通常是（或者区间在任一端是开还是闭的一些变化）。然后，您将这些统一值应用于选择的函数，以使结果输出具有所需的分布。这种技术的设置如下：$[0, 1)$

• 选择要从中生成随机数的分布。确定其累积分布函数 (cdf) $F_x(x)$. 对于高斯分布，此函数为：

  $$F_x(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right)$$ 在哪里$\operatorname{erf}(z)$是误差函数。对于标准高斯分布，$\mu = 0$和$\sigma = 1$.

• 反转分布的 CDF 以产生其逆 CDF$F^{-1}_x(x)$，有时称为分位数函数。这通常很难或不可能以紧凑的分析形式完成，因此您可能需要依赖数值近似。对于标准高斯分布，这是概率函数，可以从上面的 cdf 表达式中获得：

  $$F^{-1}_x(x) = \sqrt{2}\operatorname{erf}^{-1}(2x - 1)$$

  如果您的计算环境具有逆误差函数的实现，那么这应该很容易评估。否则，您将需要依赖函数的一些数值近似。

有了上述信息，您现在可以从所需的分布中生成值。简单的程序如下：

1. 生成统一值$u$在区间$[0, 1)$.

2. 计算$y = F^{-1}_x(u)$.

3. 输出$y$.

假设您有一个良好的基础统一生成器（以及逆 CDF 函数的良好实现），则生成的样本为$y$应该非常接近于期望的分布。这种技术有几个好处：

• 它很笼统；虽然我在上面谈到了高斯随机数生成，但您可以通过更改用于逆 CDF 的函数来成功地将其用于许多分布。

• 如果你有一个逆 CDF 函数的简单实现，它可以非常快（尽管统一生成器的速度很重要）。通过使用不使用任何逻辑检查或分支的逆 CDF 近似，我能够从这种方法中挤出比 Ziggurat 算法更快的速度。

Box Müller 大多是好的，但不一定优于逆 CDF，因为它受到 Neave 效应的影响，请参阅 HR Neave，On using the Box-Muller transformation with multiplicative congruential pseudorandom number generators Applied Statistics, 22, 92-97, 1973，或手冢https://www.researchgate.net/publication/3528180_NEAVE_EFFECT_ALSO_OCCURS_WITH_TAUSWORTHE_SEQUENCES

这个堆栈溢出帖子是相关的https://stackoverflow.com/questions/2325472/generate-random-numbers-following-a-normal-distribution-in-cc