这都是关于结构的。关于这方面的一篇早期论文是 A Unified Treatment of Discrete Fast Unitary Transforms，1977：

提出了一组使用快速算法 (FUT) 生成酉变换的递归规则。对于每个规则，简单关系给出快速算法所需的基本操作数。常见的傅立叶、沃尔什-哈达玛 (WH)、Haar 和倾斜变换用这些规则表示。开发的框架允许引入广义变换，其中包括一大类“相同计算变换”中的所有 common.transforms。为文献中出现的酉变换提供了系统统一的观点。这种方法导致了许多潜在兴趣的新转换。考虑了对复杂和多维酉变换的推广，并建立了变换之间的一些结构关系。

其中最常见的是离散正弦 (DST)、余弦 (DCT)、Hartley、小波变换和许多其他（Walsh、Hadamard、Paley 或 Waleymard、三角形、夹克、倾斜、Hermite）具有快速对应物。

一项针对系统构建的全球倡议被称为代数信号处理理论。让我提到两篇使用基本代数结构奠定基础的论文：

代数信号处理理论：基础与一维时间，2008

本文介绍了线性信号处理 (SP) 的一般公理化方法，我们将其称为代数信号处理理论 (ASP)。ASP 的基础是将线性信号模型定义为三元组（、、），其中滤波器空间和信号空间等熟悉的概念被转换为代数和一个模块，分别。映射变换的概念推广到从信号样本向量空间到模块$\mathcal{A}$$\mathcal{M}$$\Phi$$\mathcal{A}$$\mathcal{M}$$\Phi$$z$$\mathcal{M}$. 滤波、频谱或傅立叶变换等常见概念在 ASP 中具有等效的对应物。一旦在 ASP 的上下文中定义和理解了这些概念和它们的属性，它们就仍然适用并适用于 ASP 信号模型的特定实例。例如，为了开发无限和有限离散时间信号、无限或有限离散空间信号或多维信号的信号处理理论，我们只需要将 ASP 信号模型实例化为对特定类别有意义的信号模型信号。滤波、频谱、傅里叶变换和其他概念则源自相应的 ASP 概念。同样，SP 中的常见假设转化为对 ASP 信号模型的要求。例如，移位不变性等价于$\mathcal{A}$是可交换的。对于有限（持续时间）信号移位不变性然后限制 $\mathcal{A}$到多项式代数。我们解释了如何根据特殊滤波器的规范设计信号模型，即移位。本文用标准时移说明了一般的 ASP 理论，提出了一个独特的无限时间信号模型和几个有限时间信号模型。后面的模型说明了边界条件所起的作用，并将离散傅里叶变换 (DFT) 及其变体恢复为相关的傅里​​叶变换。最后，ASP 提供了一种系统的方法来推导出线性变换的快速算法。该主题以及 ASP 在空间相关信号和多维信号中的应用在配套论文中进行了探讨。

代数信号处理理论：用于 DCT 和 DST 的 Cooley-Tukey 类型算法，2008

本文提出了一种系统的方法来推导和分类线性变换的快速算法。该方法基于代数信号处理理论。这意味着算法不是通过操纵变换矩阵的条目导出的，而是通过相关信号模型或多项式代数的逐步分解来导出的。这种分解基于两种通用方法或代数原理，它们推广了著名的 Cooley-Tukey FFT 并使算法的推导简洁透明。应用于 16 种离散余弦和正弦变换会产生一大类快速通用基数算法，其中许多是以前没有发现的。

此外，当在滤波器组框架中考虑这些变换时，存在其他基于多相分解或提升变换的快速版本。

其他参考资料：我不知道有关 代数信号处理理论的完整书籍。上面的链接有一些参考资料。对于书本风格，你有博士论文：

• A. Sandryhaila，2010，代数信号处理：建模和子带分析
• M. Püschel，2008，DFT 和 FFT：代数视图，计算机代数手册，基础，应用，系统，Eds。J. Grabmeier、E. Kaltofen、V. Weispfenning

在滤波器组上：

• L. Liu， 关于使用提升方案的滤波器组和变换设计
• K. Soman 等人，2020，洞察小波：从理论到实践

FFT 的核心是分而治之 （这里）技术，它通过小问题的解决方案来解决大问题。

因此，您可以成功设计分而治之方法的任何转换都将受益于与 FFT 计算 DFT 的相同效率改进。

关键在于说明一种将小块适当整合到较大块中的有效机制。