信息处理 - 一阶递归滤波器的截止频率 - 吾爱随笔录

我使用以下算法在 c 中实现了一个非常简单的一阶递归低通滤波器：

double a, b, prevOutput;

double lowPassFilter(double input)
{
    double output = a * input + b * prevOutput;
    prevOutput = output; 
    return output;
}

在哪里：

a = 1.0 - b

根据 The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，滤波器的截止频率由以下关系定义：

$b = e^{- 2 π f_{c}}$ $b = e^{-2πf_c}$

$f_c$ 是作为采样频率一部分的 -3db 截止频率。使用 $f_c = 0.25$ ，我计算出 $b = 0.20788$ （大约）并将其插入我的过滤器。我想验证我的过滤器，所以我通过它传递了一个脉冲函数并记录了输出：

double result[128];
for (int i = 0; i < 128; ++i)
{
    if (0 == i) result[i] = lowPassFilter(1.0);
    else result[i] = lowPassFilter(0.0);
}

然后我对结果执行 FFT 以找到频率响应：

complex_t fftResult* = fft(result);
for (int i = 0; i < 65; ++i)
{
    double amplitude = fftResult[i].real * fftResult[i].real;
    amplitude += fftResult[i].img * fftResult[i].img;
    amplitude = sqrt(magnitude);
    printf("f = %.3f: %f\n", i / 128.0, amplitude );
}

我看到的结果在某种程度上是预期的，但也不完全是我的预期。在 DC bin ( $f = 0$ ) 中，我看到一个非常接近 1 的幅度，并且我看到幅度在接近 0.5 时衰减。但是，我还预计在 $f = 0.25$ 时，幅度应该在 $0.70795$ 左右（即 -3db）。但幅度却在 $0.775$ 左右：

 ...
f = 0.242: 0.782501
f = 0.250: 0.774971
f = 0.258: 0.767380
 ...

除了效率低下的代码之外，我用来获取频率响应的方法是否有问题，或者我是否错误地解释了截止频率关系或其他原因？