符号函数定义为

$$\text{sgn}(t)=\begin{cases}-1,&t<0\\0,&t=0\\1,&t>0\end{cases}$$

使用半最大值约定，单位阶跃函数定义为

$$u(t)=\begin{cases}0,&t<0\\\frac12,&t=0\\1,&t>0\end{cases}$$

从这两个定义可以看出

$$\text{sgn}(t)=2u(t)-1$$

必须持有。

其实很简单，

通过忽略 sgn(t) 中的 t = 0，

sgn(t) =

$$\begin{cases}-1,&t<0\\1,&t>0\end{cases}$$

sgn(t) 加 1，

sgn(t) + 1 =

$$\begin{cases}0,&t<0\\2,&t>0\end{cases}$$

现在我们可以轻松比较 sgn(t) + 1 和 u(t)，其中，

u(t)=

$$\begin{cases}0,&t<0\\1,&t>0\end{cases}$$

因此，相对而言，u(t) = 1/2 [ sgn(t) + 1 ] 即 sgn(t) = 2u(t) - 1