首先，如果我应该过滤我的信号以去除任何高于奈奎斯特频率的频率，我会感到困惑。我的采样频率是 32Hz，我的时间序列有些嘈杂并且有一些伪影。我也不确定为此选择哪个过滤器。

那艘船已经航行了。

令，即具有幅度、频率和相位的所有不同复正弦曲线的集合。$S=\left\{\left.\alpha e ^{i(\omega t+\varphi)}\right|\alpha > 0, 0\le \varphi <2\pi, \omega \in \mathbb R\right\}$

那么是一个可交换半群（证明平凡）。$(S,\cdot)$

引入等价关系（“两个信号在采样率为后是相同的”），我们看到信号是 if，即如果信号的频率相差采样率的倍数，我们无法在采样后区分信号。$\sim: a\sim b \iff a\left(\frac{n}{r}\right)= b\left(\frac{n}{r}\right) \forall n\in\mathbb Z$$r$$s_l=\alpha e^{i(\omega_l t + \varphi)}, l=1,2,\ldots$$s_1\sim s_2$$\frac{\omega_1-\omega_2}{2\pi}=nr, n\in\mathbb Z$

让我们将其形式化：是的商半群，即，并且每个elements 是一个等价类的领导者——这个同态实际上是采样，正如我们在上面看到的，它不是双射的。$T=\left\{\alpha e^{i([ft+\phi]\mod 2\pi)}\right\}$$S$$T\preceq S$$\sim$$S\mapsto T$

的所有原始频率分量都映射到来自的某个分量，频率归一化为采样频率。该映射称为别名。$S$$T$

抗混叠滤波器的作用是$h$

正如您在上面插入时会发现的那样，这只会产生没有混叠到不同频率的元素。$h(s)$

因此，“幸存”的所有事物也将“幸存”混叠，而不会发生频率变化。$h$

因此，如果您需要抗混叠滤波器，现在为时已晚。去重新做你的录音。

其次，我想查看一组内每个频率的周期图和平均功率谱密度 - 但我不确定我是否非常了解周期图 - 如果我有不同的时间序列长度，那么我的周期图长度也会有所不同，所以我不确定如何进行这种比较。

在这种情况下，周期图本身并不是一个有用的映射——例如，您需要添加诸如截断/填充操作之类的东西以使所有信号具有相同的持续时间。在这一点上，周期图似乎不再是一种明智的方法。

1. 采样（离散时间）信号的傅里叶变换只能具有介于 -Fs/2 和 +Fs/2 之间的信息，并且该信息重复使得 X(f +Fs) = X(f)，使得 Fs 是采样频率。这意味着在对模拟信号进行采样时，您可能希望对该信号进行低通以确保其没有高于 Fs/2（奈奎斯特频率）的频率。这必须在模拟信号上完成。如果模拟信号的频率确实高于奈奎斯特，它们将“混叠”，并且在采样后无能为力，除非您对信号有所了解，但这更像是一种极端情况。

2. 周期图有长度和跳数。长度越长，频率分辨率越高，但时域带宽越低。跃点大小设置时域分辨率。因此，只要长度足够，您就可以使用 10Hz 的采样率解析 1Hz。

对不起，我不做任何机器学习的东西，所以帮不上忙。