信息处理 - 证明指数扫描正弦衰减每倍频程 6 dB - 吾爱随笔录 - 问答

证明指数扫描正弦衰减每倍频程 6 dB

信息处理声音的冲动反应测量

2022-02-11 01:09:19

指数扫描正弦(ESS) 是一种很好的激励信号，用于测量声学系统的脉冲响应，例如扬声器 - 房间 - 麦克风系统。ESS 的形式为

x (t) = \sin [\frac{2 π f_{1} T}{R} (e^{t R / T} - 1)]

$x(t) = \sin\Big[\frac{2\pi f_1 T}{R} (e^{tR/T} - 1) \Big]$ 其中是以秒为单位的时间变量，是持续时间正弦扫描，和分别是起始频率和终止频率，单位为 Hz，是指数扫描速率。

t

$t$

T

$T$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

R = \ln (f_{2} / f_{1})

$R=\ln(f_2/f_1)$

信号随时间具有恒定的幅度，幅度谱显示衰减，准确地说是每倍频程 6 dB。当使用反卷积程序计算脉冲响应时，必须补偿这种幅度衰减。

在这个问题中，马特指出 ESS 没有紧密形式的傅里叶变换。所以我的问题是，是否有可能证明每倍频程衰减 6 dB。在这种情况下，我们只需要 ESS 的傅里叶变换的幅度。

相关问题：计算（指数）正弦扫描方法的逆滤波器

1个回答

这篇JAES 论文给出了同步扫描正弦 (SSS) 信号的傅里叶变换的近似形式，其形式与 ESS 相同

x (t) = \sin {2 π f_{1} L [\exp (t / L) - 1]}

$x(t) = \sin \big\{2\pi f_1L \big[\exp(t/L) -1 \big]\big\}$ 其中和是的近似时间长度。

L = \frac{1}{f_{1}} r o u n d [\frac{\hat{T} f_{1}}{\ln (f_{2} / f_{1})}]

$L = \frac{1}{f_1} \mathrm{round}\left[\frac{\hat{T}f_1}{\ln(f_2/f_1)}\right]$

\hat{T}

$\hat{T}$

x (t)

$x(t)$

作者推导出 SSS 解析信号的傅里叶变换：和

z (t) = \exp {j 2 π f_{1} L [\exp (t / L) - 1]}

$z(t) = \exp\Big\{j2\pi f_1L \big[\exp(t/L) -1\big]\Big\}$

Z (f) = \int_{- \infty}^{\infty} z (t) e^{- j 2 π f t} d t

$Z(f) = \int_{-\infty}^\infty z(t) e^{-j2\pi ft} dt$

经过漫长的推导，我们得到了最终的结果

Z (f) = \exp [j 2 π f L (1 - \ln \frac{f}{f_{1}})] \times \sqrt{\frac{L}{f}} \exp (j \frac{π}{4})

$Z(f) = \exp\left[ j2\pi fL\left( 1-\ln\frac{f}{f_1} \right) \right] \times \sqrt{\frac{L}{f}} \exp(j\frac{\pi}{4})$

的大小成反比，即傅立叶频谱下降 3 dB/倍频程，功率谱下降 6 dB/倍频程。 $Z(f)$ $\sqrt{f}$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇没有状态空间形式的线性时不变系统下一篇以略微不同的采样频率同步 2 个时间序列信号