首先请注意，当您使用对数函数时，如果它的输出应该是实数值，则应避免使用负参数。然后考虑以下关系： 其中输入的条件。那么这个表达式的麦克劳林级数展开将是

$$y[n] = \ln( 1 + x[n] )$$ $x[n]$$0 < 1 + x[n] \leq2$

$$y[n] = \ln(1 + x[n]) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k[n] .$$

对于非常小，也可以采用以下近似值： $x[n]$

$$y[n] \approx x[n] - x^2[n]/2$$

在最后一行应用 DTFT 产生：

$$Y(e^{j\omega}) \approx X(e^{j\omega}) - \frac{1/2}{2\pi} \left( X(e^{j\omega}) \star X(e^{j\omega}) \right)$$

的对数谱将包括与其自身的多个卷积。接近无穷大时，该关系变得精确（添加了被忽略的项），表明频谱将被拓宽。$Y(e^{j\omega})$$1+x[n]$$X(e^{j\omega})$$k$

实际上，对于任何非零带宽输入，确切的输出将具有无限带宽（或等效地不可避免的混叠），并且没有有限的上采样足以正确表示它。然而在实践中，由于保持不变，它的高功率将趋于快速变为零，并且与一些合适的阈值相比可以忽略...$x[n]$$y[n]$$|x[n]|<1$$x^k$

我想你会得到更多的回应，但如果你没有，这是我的收获：你不想用对数对时域信号进行操作。这是信号频谱的可怕失真。我知道的唯一例外是当您试图获取有关信号包络（峰值轮廓）的信息以估计信号功率时。由于信号功率通常以 dB 为单位进行分析，因此以 dB 为单位的 rms 电平取绝对值、低通滤波以获取包络并取 log 以表示以 dB 为单位是一种捷径。或将其平方并过滤，然后取日志。这种方法有时用于自动增益控制 (AGC) 电路，其中使用二极管完成对数（由于二极管或晶体管 BE 结的指数 IV 特性）。增益通常在对数刻度上进行调节，示波器上的输入范围开关、音频设备上的音量控制和射频衰减器都证明了这一点。控制这些可能是时域信号对数唯一有价值的应用。