该概念基于卷积定理，该定理指出对于两个信号$x(t)$和$y(t)$, 他们的傅里叶变换的乘积$X(f)$和$Y(f)$等于两个信号卷积的傅里叶变换。那是：

$$\mathcal{F}\{x(t) * y(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{y(t)\}$$

您可以在上面的 Wikipedia 链接中阅读有关该定理推导的更多信息。现在，卷积本身对于线性系统来说是一个非常重要的运算，因此关于它的性质的理论已经很成熟了。

但是，您正在寻找的是$x(t)$和$y(t)$. 这是关键：如果输入信号之一是共轭和时间反转的，则互相关积分等效于卷积积分。这使您可以利用为评估卷积而开发的理论（例如用于快速计算它们的频域技术）并将它们应用于相关性。

在您的示例中，您正在计算以下内容：

$$\mathcal{F}\{x(t)\}\left(\mathcal{F}\{y(t)\}\right)^*$$

回想一下，在傅里叶域中，复共轭等效于时域中的时间反转（这直接来自傅里叶变换的定义）。因此，使用上面给出的第一个等式，我们可以声明：

$$\mathcal{F}\{x(t) * y^*(-t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\left(\mathcal{F}\{y(t)\}\right)^*$$

如果你然后对这个方程进行傅里叶逆变换，你剩下的信号就是$x(t)$和$y(t)$.

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end