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滤波信号的方差

信息处理 matlab 过滤器离散信号协方差

2022-02-13 02:24:59

我正在使用 Matlab 代码中显示的非常简单的一阶巴特沃斯滤波器：

order = 1;
cutOff = 0.1;
[b, a] = butter(order, (2*cutOff)/SampleRate, 'high');

所以从的 Matlab 文档中butter，不难知道传递函数为：

H (z) = \frac{b_{1} + b_{2} z^{- 1}}{a_{1} + a_{2} z^{- 1}}

$H(z) = \frac{b_1 + b_2z^{-1}}{a_1 + a_2z^{-1}}$

问题是，如果我有一个方差为，经过上述高通滤波器对信号它会改变吗？我该如何计算呢？过滤器是线性的吗？ $x$ $v$ $x$

3个回答

您的问题（如评论中所扩展）是询问我们是否从开始并使用过滤器对其进行过滤以获得其中的方差是，那么的方差？

x (t) = x_{t r u e} (t) + n_{1} (t)

$x(t) = x_{\rm true}(t) + n_1(t)$

H (ω)

$H(\omega)$

x_{h p} (t) = h (t) * x (t) = x_{t r u e} (t) + n_{2} (t)

$x_{\rm hp}(t) = h(t) * x(t) = x_{\rm true}(t) + n_2(t)$

n_{1}

$n_1$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

n_{2}

$n_2$

这似乎不合适，因为滤波器会改变以及噪声。 $H$ $x_{\rm true}$

本页查看时的问题。 $x_{\rm true}(t) = 0,\ \forall t$

这里假设是白噪声。 $n_1$

他们得到它的地方是和就是在时评估的，即

r_{x_{h p}} (l) = v_{1} \cdot (h * h) (l)

$r_{x_{\rm hp}}(l) = v_1 \cdot (h * h)(l)$

v_{2}

$v_2$

l = 0

$l=0$

v_{2} = r_{x_{h p}} (0)

$v_2 = r_{x_{\rm hp}}(0)$

因此，您需要找到滤波器的脉冲响应，将其与自身进行卷积并找到它的零滞后值。

正如我上面所说，这并不能完全回答您的问题，但这可能是一个开始。

这个答案与其他答案没有根本不同；它更像是一个补充和附录。如果是零均值高斯白噪声，那么它的方差实际上是无限的；它的功率谱密度是恒定的，通常表示为。如果将此噪声输入到具有脉冲响应的功率谱密度为，其中是的傅里叶变换。由于噪声的均值为零，因此滤波器的输出具有由 $n(t)$ $\mathcal P_n(f)=N_0/2$ $h(t)$ $y(t)$ $\mathcal P_y(f)=\mathcal P_n(f)|H(f)|^2=\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$ $H(f)$ $h(t)$

σ^{2} = \frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2=\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |H(f)|^2\,df.$

特别是，如果滤波器是理想的带宽，则其输出处的噪声方差为。 $B$ $N_0B$

我认为通常你必须将你的信号视为一个随机过程，所以你不仅有一个方差，而且你有一个完整的自相关序列， $\sigma_x^2$ $x(n)$ $r_x(t) = E[x(n)x(n-t)]$ . 所以你需要考虑的是获得通过滤波器的信号输出的自相关序列。这并不难获得，我将留给您搜索如何去做，但您可能会发现搜索“Wiener-Khinchin 定理”很有用。基本上它认为，如果你用傅里叶变换变换你的自相关函数，你会得到频域中的功率谱密度，这个功率谱被滤波器的频率响应过滤，结果就是输出的功率谱，然后您可以对其进行逆变换并获得输出的自相关。 $r_x(0)$ 将是输出的方差。它可能会根据滤波器的形式而改变，如果它是无源滤波器（在任何频率下没有大于单位的增益），您的方差将减小，因为方差是从到并且如果您正在衰减频谱的某些部分，那么您正在减少该部分的能量。无论如何，希望它有所帮助。 $-\pi$ $\pi$

干杯

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