给定一个信号 y(t)，幅度谱是 换句话说信号 FT 的绝对值。

$$Y(f)=\left\lvert\int y(t)e^{-2\pi ft}\,\mathrm dt\right\rvert,$$

但这仅适用于确定性信号¹。如果你的信号本身是随机的，那么你就无法知道 ——你只知道它的一些随机属性。如果您实际上不知道 y(t) ，则没有要转换y。对于随机信号，不能，否则信号就不是随机的。您可能会观察到一种认识，但这种认识并未描述完整的随机过程！$y(t)$$y(t)$$y(t)$$y(t)$

这样的随机信号的功率谱密度的定义是自相关函数的傅里叶变换。为了合理地定义它，您需要您的自相关函数仅依赖于一个变量，即时移，这意味着您的随机信号需要是广义平稳的。但是，如果是这种情况，则自相关函数 (ACF) 定义为$y$

$$\phi_{yy}(\tau) := \mathbb E \left\{ y(t) y^*(t+\tau) \right\},$$

然后是功率谱密度，它给出你的幅度谱是它的傅里叶变换，。$\Phi_{yy}(f) := \int_{-\infty}^{\infty} \phi_{yy}(\tau) e^{-i2\pi f\tau}\,\mathrm d\tau$

现在，在期望中，有你的随机信号概率密度函数：$\mathbb E \left\{ y(t) y^*(t+\tau) \right\}$

$$\begin{align} \phi_{yy}(\tau) &:= \mathbb E \left\{ y(t) y^*(t+\tau) \right\} \\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty y'_1\,y'_2 \,\cdot\, f_{ (y({t_1}),y({t_1+\tau})) } (y'_1,y'_2) \, \mathrm d y'_2 \; \mathrm d y'_1 \end{align}$$

请注意，这里的密度是两个值的函数，并随着时间推移而参数化。

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¹您还缺少指数和积分界中的虚数单位，但这不是问题所在。但是，实际上，请确保能够正确写下傅里叶变换。