好吧，根据分布的定义，你有：$\delta$

$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-T)\, \textrm{d}t = f(T)$

函数的自相关可以通过以下方式计算：$g(t)$

$\int_{-\infty}^{\infty} g^{*}(t)g(t + \tau)\, \textrm{d}t$，其中作为 g 的复共。由于是实值，因此可以跳过共轭。所以你剩下：$g^*$$g$$\delta(t)$

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{*}(t)\delta(t + \tau)\, \textrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\delta(t + \tau)\, \textrm{d}t = \delta(-\tau)$。

第一个 = 符号来自实值的自相关，第二个来自分布的定义。$\delta$$\delta$

因此，分布的自相关函数就是分布本身。自相关函数的特征函数，可以这么说；）$\delta$

想一想，这确实是有道理的：唯一的完美匹配是在没有时间偏移的情况下实现的，即在处。所有其他转变最终会导致的参数之一不同于 0，因此函数在那里为 0。$\tau = 0$$\delta$$\delta$

顺便说一句：，因为函数/分布是对称的。$\delta(-\tau) = \delta(\tau)$

查看诸如 Lecture notes on Distributions、Hasse Carlsson 或Convolution dans l'espace$\mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$等文档，可以在某些技术条件下定义分布的卷积。但是，当其中一个操作数具有紧凑支持时，如所做的那样，卷积是明确定义的。来自维基百科：分布卷积：$\delta(t)$

紧凑支持的分布：也可以在上定义两个分布 S 和 T 的卷积，前提是其中一个具有紧凑支持。$\mathbb{R}^n$

如果你喜欢古典书籍，有：Francois Trèves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , 1967:

加上 是中性元素，则是它自己的自相关。$\delta(t)$$\delta(t)$

这个懒惰的版本避免在积分符号下编写繁琐的狄拉克产品。Nota：我承认我最初认为它不那么简单。