信息处理 - 时间带宽积 - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换带宽雷达

2022-02-23 09:46:58

以下文字引用自一本教科书“聚光灯模式合成孔径雷达：一种信号处理方法”，我想问一下是否有人知道以下陈述的证明，因为书中没有列出证明，我是自己无法证明。

功能 $f(t)$ is表示脉冲包络波形。

脉冲包络波形的有效持续时间为：

T_{e} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t}{f (0)}

$T_{e}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt}{f(0)}$

脉冲包络波形的有效带宽的相应测量由下式给出：

B_{e} = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\int_{- \infty}^{\infty} F (ω) d ω}{F (0)}

$B_{e}=\frac{1}{2\pi}\cdot \frac{\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega )d\omega }{F(0)}$

从傅里叶变换的定义方程可以看出，上述测量值的乘积是恒定的。

B_{e} T_{e} = 1

$B_{e}T_{e}=1$

我在别处读到以上是时间带宽产品。我不知道这意味着什么，也不知道它的物理意义是什么。任何人都可以阐明如何实际证明最后一个陈述吗？谢谢！

1个回答

请注意，有效持续时间和有效带宽的这些定义仅对非常特定的信号有用，即对于均匀且以周围为中心的（实值）低通信号 $t=0$ . 这意味着他们的傅里叶变换也是实值的，均匀的并且集中在 $\omega=0$ ，因此，可以使用相同的宽度定义。

现在证明，这很简单。取傅里叶变换及其逆变换的定义：

\begin{matrix} (1) & F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t \end{matrix}

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{j ω t} d ω \end{matrix}

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega\tag{2}$

从 $(1)$ 和 $(2)$ 我们得到

\begin{matrix} (3) & F (0) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t \end{matrix}

$F(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt\tag{3}$

和

\begin{matrix} (4) & f (0) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) d ω \end{matrix}

$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega\tag{4}$

我们从中得到

\begin{matrix} (5) & T_{e} = \frac{F (0)}{f (0)} \end{matrix}

$T_e=\frac{F(0)}{f(0)}\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & B_{e} = \frac{f (0)}{F (0)} \end{matrix}

$B_e=\frac{f(0)}{F(0)}\tag{6}$

结果立即出现。

有关持续时间/带宽的更一般定义和不确定性原理的信息，请查看此答案。

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