信息处理 - 从 DFT 评估常规傅里叶变换 - 吾爱随笔录

从 DFT 评估常规傅里叶变换

信息处理傅里叶变换自由度

2022-01-24 12:23:56

假设我们知道离散有限序列的 DFT，一些 $X[k],\ k = 0, 1,\dots ,N-1$ . 我们如何计算随机频率下相同信号的傅里叶变换 $\Omega$ ?

编辑：

怎么样，我们可以用逆 DFT 得到起始信号，比如：

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n}

$x[n] = \frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$ 然后通过以下方式正常获得傅立叶变换：

\begin{aligned} X (e^{j Ω}) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] e^{- j Ω n} \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{- j Ω n} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n} \end{aligned}

$\begin{align} X(e^{j\Omega}) &= \sum\limits_{n = -\infty}^{+\infty} x[n]e^{-j\Omega n}\\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-j\Omega n}\sum\limits_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \end{align}$

它是否正确？

EDIT2： 正如@Matt L. 正确指出的那样，我当然想要离散时间傅里叶变换而不是普通的傅里叶变换。在我的母语教科书中傅里叶变换意味着连续信号的 FT 和离散信号的 DTFT。我希望从编辑中可以清楚地看到这一点。:)

3个回答

您的问题非常有道理，但您的解决方案将不起作用。请注意，表达式为 $x[n]$

\begin{aligned} x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n} \end{aligned}

$\begin{align} x[n]=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \end{align}$

是周期性的 $N$ . 这意味着总和

\frac{1}{N} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{- j Ω n} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n}

$\frac{1}{N}\sum\limits_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-j\Omega n}\sum\limits_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$

不收敛。让我们假设 $x[n]$ 被定义为 $0\le n< N$ 否则为零。然后我们得到离散时间傅里叶变换 $x[n]$

\begin{matrix} (1) & X (e^{j Ω}) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j n Ω} = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n} e^{- j n Ω} \end{matrix}

$X(e^{j\Omega})=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jn\Omega}= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\sum\limits_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}e^{-jn\Omega}\tag{1}$

这个公式确实有效，如果只有 DFT 就可以使用 $X[k]$ 给出。当然这只适用于有限长度的信号 $x[n]$ . 等式 (1) 仅表示 DFT 包含有关（有限长度）信号的完整信息 $x[n]$ 和任何频点 $\Omega$ 可以使用离散值评估 DTFT 的 $X[k]$ .

有无数个连续波形在采样后具有相同的 DFT，然后具有不同的 FT。所以你需要指定更多。如果您想要的某些连续信号是严格带限的，那么 Sinc 插值将为您提供一个较小的可能解决方案系列，您可以从中推导出 FT。

如果频率 f 是 SampleRate fs 除以 N 的整数倍，那么它就是 X[f/fs]。如果不是你必须做一个 sin(x)/x 插值（见http://en.wikipedia.org/wiki/Whittaker%E2%80%93Shannon_interpolation_formula）

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