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带限信号的高阶导数的界限

信息处理带宽衍生物

2022-02-01 18:10:34

这是带宽为 Ω 的带限函数 f(t)：

函数 f(t) 有界 [-A,A]。

那么 f(t) 的导数的界有界为：|f'(t)|≤2πΩA。那么，它的 n 阶导数的界限是什么？

是不是如下？

其中 n 是导数的阶数。

如果是，那么高阶导数的界限是否远大于 f(t) 的界限？

我尝试了 MATLAB 模拟，但结果相反。

1个回答

你尝试了哪些模拟？我觉得你说的是对的。

如果 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ ，根据傅里叶逆变换，我们有

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{j ω t} d ω

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

f^{'} (t) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{j ω t} d ω) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} j ω F (ω) e^{j ω t} d ω

$f'(t) = \frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\omega t}d\omega\Big)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty j\omega F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

所以导数的傅里叶变换应该是

F [f^{'} (t)] = j ω F (ω)

$\mathcal{F}[f'(t)] = j\omega F(\omega)$

和傅里叶变换 $n$ -阶导数是

F [f^{(n)} (t)] = (j ω)^{n} F (ω)

$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (j\omega)^nF(\omega)$

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