用终极的方式回答你的问题怎么样？如果无限次或实际上多次应用低通滤波器会发生什么？相信你理解这个更有意义。

我想首先强调一个事实 ，则将过滤器应用于次，相当于将过滤器应用于一次 。$F$$d$$k$$F'$$d$

您问题的“最终”版本的答案是：无论您从哪里开始使用低通滤波器，都说，使用和 ，当您将滤波器应用于某些离散信号次时，您最终将应用高斯滤波器$F=[f_0,f_1,\cdots,f_n]$$\sum_{i=0}^{n} f_i = 1$$f_i \geq 0$$G$$F$$d=[d_0,d_1,\cdots,d_m]$$k\rightarrow\infty$

注意：这个结论不依赖于 1）要处理的信号是什么，2）你使用哪个，以及它是lowpass。$d$$F$

这是一些ipython代码，你可能会玩。

import numpy as np
# generate a random low pass filter
F = np.random.randint(0,1000,(100,1) ).astype('float').ravel();
# ensures sum to 1
F = F / F.sum();
print "sum(F) = ", F.sum();
# create copy to buffer the last version of convolving F for k times
Fk = F.copy();
Fk_list = [];
for k in range( 5 ) :
    Fk = np.convolve( Fk, F, 'full' );
    Fk = Fk / Fk.sum();
    # donot worry about this line, see comments below
    Fk = np.asarray( filter( lambda x : x > 1e-6, Fk ) );
    Fk = Fk / Fk.sum();
    Fk_list.append( Fk );
# plot results
f, axarr = pyplot.subplots( 3, 2 );
# plot data
axarr[0,0].plot( F ),
axarr[0,0].set_title( 'k = 0' );
axarr[0,1].plot( Fk_list[0] ),
axarr[0,1].set_title( 'k = 1' );
axarr[1,0].plot( Fk_list[1] ),
axarr[1,0].set_title( 'k = 2' );
axarr[1,1].plot( Fk_list[2] ),
axarr[1,1].set_title( 'k = 3' );
axarr[2,0].plot( Fk_list[3] ),
axarr[2,0].set_title( 'k = 4' );
axarr[2,1].plot( Fk_list[4] ),
axarr[2,1].set_title( 'k = 5' );
pyplot.show();

• 带有 filter 关键字的那行只是简单地丢弃非常小的组件，因为我想让你看到漂亮的钟形高斯。否则，结果仍然是 Gassuian，但由于我们可能包含许多超出 4 倍标准差的东西，您会看到类似峰值的东西。

以下是上述 ipython 代码的结果。如您所见，卷积到 self 的次数越多，得到的低通滤波器就越类似于高斯滤波器。$F$

现在让我用一个非常不同的给你另一个视觉演示，它只包含两个非零值。虽然这次你看不到在 5 次卷积中是高斯的，但长期行为，即并没有改变。经过大量的自卷积后会变成高斯样。$F$$F$$k\rightarrow\infty$

最后，您可能会问为什么会发生这种情况？因为上帝爱高斯。这个结论就是所谓的“中心极限定理”（详见http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem）。我不会为你解释一切，因为我希望你能自己学习。但这里有一个提示：概率/离散分布、算术平均值、低通滤波器系数、线性算子和卷积，它们都是相关的。如果您在理解新事物方面有任何困难，请尝试通过您在亲密关系中已经知道的事物来理解它。

傻我！Matlab 帮助包括答案：

• 滤波器传递函数，等于原始滤波器传递函数的平方幅度
• 、、、... 和 、 ...指定的滤波器阶数的两倍。$b_0$$b_1$$b_2$$a_1$$a_2$

数字巴特沃斯滤波器，在 Matlab 中）。

我的问题是，如果我对数据应用相同的过滤器（例如 2 次）会发生什么？

有什么变化？是不是像我有双重订单？

不完全的。与 2 阶 Butterworth 级联的 2 阶 Butterworth将产生 4 阶滤波器，但不会是 4 阶 Butterworth。它将在截止频率处降低 6 dB，而不是降低 3 dB。

要获得巴特沃斯的总频率响应，您需要对前向和后向双二阶使用不同的 Q。我不确定它们不对称会对它们产生什么影响。