由于是正交的，尽管存在快速算法，但傅立叶技术最终还是求助于最小二乘谱分析，即找到以下形式的项之和

这可以通过线性代数来解决，用纯实数计算。请记住，在傅立叶（1768-1830）时代，复数算术还没有完全发展起来。Carl F. Gauss (1777-1855) 有时被认为是第一次使用快速技术来解决它。

所以是的，你可以避免复数，但是$a \cos(\phi) + b \sin(\phi)$, 是真实的$a$,$b$,$\phi$实数，完全等价于某个复数。复数只是线性时不变系统分析的基础，因为它们形成了它们的不变特征向量，或者允许对角化它们。

是的。你可以进行计算。但是，不，这不是捷径。

如果您想快速获得 DFT 幅度（例如，使用 O(NlogN) FFT 算法），那么您将需要复杂的数学（或其计算等价物）。这是因为 DFT 基向量的余弦和正弦形式是正交的，您需要两者都能够完全表示任意输入波形。基向量的正弦部分由 FFT 复数结果的虚部表示。因此，需要计算 FFT 的完整复数结果，以便最终获得足够的信息来确定幅度或幅度结果。

如果可以接受慢速 DFT 计算，那么您可以使用严格的实数算术计算余弦分量，然后也使用实数单独计算正弦分量。然后计算幅度的实三角形的斜边。不需要复数。但是这种方法是 O(N^2)，需要更长的时间。

对于仅幅度结果（计算缓慢），N Goertzel 过滤器是另一种可能性，并且可以节省触发函数调用。