对于线性滤波器，二项式滤波器可以被认为是对高斯的 FIR 近似，非常简单。它们的系数由下式给出：

$$h_k=\frac{ \binom{n}{k}}{2^n} \,.$$ 例如，你可以得到$H_3 = [ \frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}]$， 或者$H_5 = [ \frac{1}{16},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{16}]$. 由于它们的系数是正的，它们不会过冲。

以下是图表$n = 5,17,25,31$：

执行多项式插值的 Savitzky-Golay 滤波器也很有趣，但往往会以更高的次数过冲。

不过不要自欺欺人：只要滤波器是线性的，频率的概念就在后面。

设计具有给定阶跃响应的 FIR 滤波器非常容易。自从

$$a[n]=\sum_{k=-\infty}^nh[k]\tag{1}$$

在哪里$a[n]$是阶跃响应，并且$h[n]$是脉冲响应，脉冲响应可以从给定的阶跃响应中获得

$$h[n]=a[n]-a[n-1]\tag{2}$$

对于因果过滤器，您有$a[-1]=0$作为递归的初始条件$(2)$. 所以你得到

$$h[0]=a[0]\\h[1]=a[1]-a[0]\\h[2]=a[2]-a[1]\\\vdots$$

您可能需要检查二项式系数的公式和命名。当我试图重现你的结果直到我意识到问题时，它让我失望了。我的帖子本着帮助其他阅读它的人的精神。

H0 是帕斯卡三角形的第一行，仅包含一个“1”。H1 包含“1 1”，H2 包含“1 2 1”，依此类推。因此，H4 包含“1 4 6 4 1”，产生您为 H5 指定的系数。我认为表达式应该是

  hk = (n-1 pick k)/2^(n-1) for v from 0 to n-1

其中 n 是您想要在滤波器中使用的系数的数量。这会给你上面的答案。

问题是 k = 0 和 k = n-1 都包括在内，因此 (n, pick k) for k 从 0 到 n 产生 n+1 个系数，因此这属于 Hn+1，而不是 Hn。

或者，您可以重新定义 Hn 的含义，但这不太直观。H5 表示 5 个系数对我来说似乎很自然，就像对你一样。

最好的祝福，

彼得