信息处理 - 对上采样信号进行积分，而不实际对其进行重新采样 - 吾爱随笔录

信息处理重采样一体化

2022-02-09 13:54:16

给定一个以特定频率采样的信号 X。我们当前计算的值作为上采样信号的积分给出。因此： Y = X，但通过 sinc 插值或使用 FFT 重采样器进行了 100 倍的上采样。积分只是 Y 中所有值的总和。

这个积分的计算很容易，但我想通过避免上采样步骤来加速它。是否有可能获得上采样信号的积分，而无需实际重新采样？

通过下采样保持积分和低通滤波器会影响信号上的积分吗？是类似的问题，但处理的是下采样或带宽限制的情况。在这两种情况下，很明显积分不会通过缩小来完全保留。

然而，在这个问题中，我们谈论的是上采样。我怀疑这可能是因为 X 确实包含创建 Y 所需的所有信息。

1个回答

如果您通过整数因子进行上采样，并且使用具有因果脉冲响应的插值滤波器，则上采样和插值信号由下式给出 $x[n]$ $L$ $h[n]$

\begin{matrix} (1) & y [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] h [n - k L] \end{matrix}

$y[n]=\sum_{k=0}^{\infty}x[k]h[n-kL]\tag{1}$

（请注意，因果关系的要求可以很容易地删除；我只是用它来让较低的总和指数从值开始。） $0$

如果要计算的总和，则需要计算 $y[n]$

\begin{matrix} (2) & s_{y} = \sum_{n = 0}^{\infty} y [n] = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] h [n - k L] \end{matrix}

$s_y=\sum_{n=0}^{\infty}y[n]=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}x[k]h[n-kL]\tag{2}$

但是，您可以交换 (2) 中的总和，从而得到

\begin{matrix} (3) & s_{y} = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] \sum_{n = 0}^{\infty} h [n - k L] \end{matrix}

$s_y=\sum_{k=0}^{\infty}x[k]\sum_{n=0}^{\infty}h[n-kL]\tag{3}$

（3）中内和的值与索引无关，所以我们可以写 $k$

\begin{matrix} (4) & s_{y} = s_{h} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] = s_{h} \cdot s_{x} \end{matrix}

$s_y=s_h\cdot \sum_{k=0}^{\infty}x[k]=s_h\cdot s_x\tag{4}$

和

s_{h} = \sum_{n = 0}^{\infty} h [n]

$s_h=\sum_{n=0}^{\infty}h[n]$

因此，上采样和内插信号的总和只是原始信号乘以一个因子的总和，该因子由内插滤波器的脉冲响应值的总和给出。请注意，对于理想的 sinc 滤波器，该因子等于上采样因子对于所有实际的插值滤波器，这也至少近似正确，因为脉冲响应的总和等于插值滤波器的 DC 增益，理想情况下应该等于 $L$ $L$

因此，如果您想让事情保持简单（为什么不呢？），您可以使用

s_{y} \approx L \cdot s_{x}

$s_y\approx L\cdot s_x$

对于任何合理的插值滤波器，这是一个非常好的近似值（甚至完全正确）。

在上述推导中，我假设所有（无限）和都存在，实际上，如果我们处理有限长度信号和稳定插值滤波器，情况总是如此。

其它你可能感兴趣的问题