进行的方法是使用边际分布的定义，以及无意识统计学家的定律，

$$p_\mathbf{R}(\mathbf{r}) = \mathbb{E}_\delta\big\{p_{\mathbf{R}\mid \delta}(\mathbf{r}\mid\delta)\big\} = \int_\delta p_{\mathbf{R}\mid \delta}\left(\mathbf{r}\mid\delta\right) p_\delta(\delta) \mathrm{d} \delta = \int_{-1}^{+1} p_{\mathbf{R}\mid \delta}\left(\mathbf{r}\mid\delta\right) \frac{1}{2} \mathrm{d} \delta \tag{1}$$

请注意，对于给定的，条件是。$\delta$$\mathbf{r}$$C\mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \sigma_s^{2} \mathbf{I}_{N} + \delta^2 \sigma_n^{2} \mathbf{I}_{N}\right)$

的最右侧并计算积分。$(1)$

一个优雅的解决方案是使用高斯随机变量的优良特性：（独立）高斯之和也是高斯的。这样，可以将积分推到协方差矩阵部分并得出结果：

$$C\mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \sigma_s^{2} \mathbf{I}_{N} + \frac{1}{3} \sigma_n^{2} \mathbf{I}_{N}\right)$$

奖金。使用此脚本检查标量情况的结果。

sigmas = 2; sigman = 5; N = 1e5;
s = sigmas/sqrt(2)*complex(randn(N,1),randn(N,1));
n = sigman/sqrt(2)*complex(randn(N,1),randn(N,1));
delta = 1-2*rand(N,1);
r = s + delta.*n;
histogram(real(r),'Normalization','probability')
xx = linspace(-10,10,40); yy = normpdf(xx,0,sqrt((sigmas^2+sigman^2/3)/2));
hold on;
plot(xx,yy,'ro');