你的计算是正确的。

您的信号的能量在所有频率上均等地分布。

但请注意，在离散时间中，“所有频率”是指从到。存在超出该范围的频率，但会产生与频率在该范围内的信号相同的信号。$\omega = -\pi$$\omega = +\pi$

例如，。类似地，依此类推。$\cos(0\times n) = \cos(2\pi \times n)$$\cos(0.1 \pi \times n) = \cos(2.1 \pi \times n)$

的范围内积分计算的。$2\pi$

正式的结果被称为 Parseval 定理，它指出时域测量的能量等于频域测量的能量：

$\sum_n |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$

注意：这是 Parseval 的特定版本。更一般的版本指出，一个向量到另一个向量的投影（认为叉积）在时域或频域计算是相同的，这是合理的，因为傅里叶可以看作是基数的变化，而基数的变化不应该改变预测。

你是对的，单位脉冲的 DTFT 是恒定的：

$$\textrm{DTFT}\{\delta[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]e^{-jn\omega}=1$$

这意味着单位脉冲可以用所有频率的积分来表示$-f_s/2$到$f_s/2$， 在哪里$f_s$是采样频率。所以你推理的问题是你认为频率轴从$-\infty$到$\infty$. 对于离散时间信号，它没有。离散时间信号的频谱是周期性的$f_s$.

很容易证明$\delta[n]$可以通过常数谱的逆 DTFT 得到：

$$\textrm{IDTFT}\{1\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{jn\omega}d\omega=\begin{cases}1,&n=0\\\frac{1}{2\pi jn}\left[e^{jn\pi}-e^{-jn\pi}\right]=0,& n\neq 0\end{cases}$$

注意$\omega$是以弧度为单位的归一化频率：

$$\omega=\frac{2\pi f}{f_s}$$

所以积分限制$\pm\pi$对应频率$\pm f_s/2$.