信息处理 - 具有任意幅度和相位响应的 FIR 滤波器的设计 - 吾爱随笔录

信息处理过滤器设计有限脉冲响应最小二乘

2022-02-16 18:07:33

我在这篇论文“具有任意幅度和相位响应的数字滤波器的约束设计算法”中找到了很多信息，我想了解它。

这个问题是上一个问题（复杂最小二乘近似）的延续。

\begin{matrix} (1) & H (e^{j ω}) = \sum_{n = 0}^{N - 1} h [n] e^{- j n ω} = c^{H} (ω) \cdot h \end{matrix}

$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h[n]e^{-jn\omega}=\mathbf{c}^H(\omega)\cdot \mathbf{h}\tag{1}$

我想通过以下所需的频率响应来近似（1）：

\begin{matrix} (2) & D (ω) = M (ω) e^{j P (ω)} \end{matrix}

$D(\omega)=M(\omega)e^{jP(\omega)}\tag{2}$

我对这个规格的问题：

频域规格非对称（具有非对称脉冲响应的线性相位滤波器），具有滤波器阶数和恒定群延迟，恒定加权函数。

1-在开始设计过滤器之前，必须知道问题是否是线性的，这是否与“h”有关系？

对于 FIR 滤波器，我们使用复最小二乘法制定设计问题。通带误差函数为

\begin{matrix} (3) & E (h) = \int_{ω_{1}}^{ω_{2}} | H (e^{j ω}) - D (e^{j ω}) |^{2} d ω \end{matrix}

$E(\mathbf{h})=\int_{\omega_1}^{\omega_2}| H(e^{j\omega})-D(e^{j\omega})|^2d\omega \tag{3}$

在这种情况下我该如何求解积分？或者允许我用最小二乘法制定方程的步骤是什么？

在复最小二乘法中有连续和离散逼近。然而，这些积分通常无法解析求解。在这种情况下，要么必须求助于数值积分，要么先验地将问题表述为离散逼近问题。(3) 哪个更好？使用连续或离散近似？

1个回答

为了清楚起见，让我指出你不近似 $(1)$ 经过 $(2)$ ，但反过来：您通过滤波器的频率响应来近似期望的频率响应，即您的规格，这是通过选择向量中的系数来完成的 $\mathbf{h}$ 这样一些误差测量（例如，最小二乘）被最小化。

由于频率响应 $(1)$ 是线性的 $\mathbf{h}$ ，该问题是线性最小二乘问题，可以通过求解线性方程组来解决。这对于连续误差测量是正确的 $(3)$ 以及离散误差测量

\begin{matrix} (1) & E (h) = \sum_{k = 1}^{K} | H (e^{j ω_{k}}) - D (e^{j ω_{k}}) |^{2} \end{matrix}

$E(\mathbf{h})=\sum_{k=1}^K|H(e^{j\omega_k})-D(e^{j\omega_k})|^2\tag{1}$

在哪里 $K$ 是离散频率点的数量 $\omega_k$ . 一般来说，我们要求 $K\gg N$ ，在哪里 $N$ 是向量中 FIR 滤波器系数的数量 $\mathbf{h}$ .

在一般情况下，使用离散误差测量更方便 $(1)$ . 只有少数特殊情况下，连续误差测量的积分（方程式 $(3)$ 在你的问题中）可以通过分析解决，否则无论如何你都必须求助于数值近似。即使有可用的解析解，如果频率点的数量为 $K$ 足够大。

最小化离散平方误差 $(1)$ 等效于在最小二乘意义上求解以下超定线性方程组：

\begin{matrix} (2) & H (e^{j ω_{k}}) \overset{!}{=} D (e^{j ω_{k}}), k = 1, 2, \dots, K \end{matrix}

$H(e^{j\omega_k})\stackrel{!}{=}D(e^{j\omega_k}),\qquad k=1,2,\ldots,K\tag{2}$

公式 $(2)$ 很方便，因为许多软件包（例如 Matlab）具有语法优雅且计算高效的方法来解决此类系统。

我已经实现了一个基于求解的复杂 FIR 滤波器设计 $(2)$ 在（非常简单的）Matlab/Octave 函数cfirls.m中。

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