信息处理 - 如何证明∫Ω∑ñ我= 1F一世( x ) dX∫Ω∑i=1Nfi(x)dx等价于∑ñ我= 1∫ΩF一世( × )你一世( x ) dX∑i=1N∫Ωfi(x)ui(x)dx - 吾爱随笔录

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2022-01-31 20:56:54

我在一个区域上定义了一个 2D 图像 $\Omega$ . 假设区域可以分为 $N$ 次区域 $\Omega_i$ 这样

\forall i, j = 1... N : Ω_{i} \cap Ω_{j} = \emptyset

$\forall i,j=1... N:\Omega_i \cap\Omega_j=\emptyset$ 和

⋃_{n = 1}^{N} Ω_{n} = Ω

$\bigcup_{n=1}^{N}\Omega_n =\Omega$

让 $u_i(x)=1$ 如果 $x \in \Omega_i$ ，除此以外 $u_i(x)=0$ . 然后为家人 $\{f_n:n\in 1..N\}$ 上的功能 $\Omega$ 我们有

x \in Ω_{k} ⟹ \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (x) u_{i} (x) = f_{k} (x)

$x \in \Omega_k \implies \sum_{i=1}^{N}f_i(x)u_i(x)=f_k(x)$

我有一个能量函数，定义如下

E_{1} = \int_{Ω} \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (x) d x

$E_1=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} f_i(x)dx$

下面的等式是否 $E_2$ 等同于上述能量函数 $E_1$ ? 如何证明？

E_{2} = \sum_{i = 1}^{N} \int_{Ω} f_{i} (x) u_{i} (x) d x

$E_2=\sum_{i=1}^{N} \int_{\Omega} f_i(x)u_i(x)dx$

这是我的证明

1个回答

从你的 $E_2$ 并将有限和与积分交换，我们得到：

E_{2} = \sum_{i = 1}^{N} \int_{Ω} f_{i} (x) u_{i} (x) d x = \int_{Ω} \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (x) u_{i} (x) d x

$E_2=\sum_{i=1}^N \int_\Omega f_i(x) u_i(x) dx = \int_\Omega \sum_{i=1}^N f_i(x) u_i(x) dx$

接下来我们可以使用不相交的覆盖 $\{\Omega_i\}$ 的 $\Omega$ 拆分积分：

E_{2} = \sum_{k = 1}^{N} \int_{Ω_{k}} \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (x) u_{i} (x) d x

$E_2 = \sum_{k=1}^N \int_{\Omega_k} \sum_{i=1}^N f_i(x) u_i(x) dx$

这 $x$ 在积分现在从 $\Omega_k$ 我们可以申请您的身份 $f_i(x) u_i(x)$ ：

E_{2} = \sum_{k = 1}^{N} \int_{Ω_{k}} f_{k} (x) d x

$E_2 = \sum_{k=1}^N \int_{\Omega_k} f_k(x) dx$

这几乎是你的 $E_1$ ，但不完全。我们不能用总和交换积分，因为积分取决于总和指数。将集成区域扩展到 $\Omega$ 如果不重新引入选择功能，也是不可能的。所以你的 $E_1$ 和 $E_2$ 不相等。最接近的东西 $E_1$ 是我上面得出的。

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