首先小波变换的基本思想在于多分辨率分析。这意味着从不同的尺度观察信号。

使用图像（2D 信号）可能更容易理解这一点。多分辨率的想法就像放大和缩小参考信号，并根据缩放量与图像的窗口进行比较。

同样对于 1D，您试图查看不同尺度的母小波（将其视为 1D 中的压缩和扩展）与不同延迟的信号（在离散的 1D 上的不同点）。

现在，当您查看要基于母小波进行变换的给定离散点集时，很容易将它们视为应用于不同尺度的滤波器（基于母小波）。

为了更好地理解小波和 DWT，我建议您阅读 Polikar 的教程：小波教程

标准连续小波的行为类似于连续带通滤波器。由于它们依赖于两个连续参数（尺度和偏移），因此即使在离散数据上，它们的严格实施也是不可能的。它需要不可数的卷积（整数）。

然后，整个故事变得更加复杂和错综复杂，但随之而来的是一些里程碑。

首先，像 Ingrid Daubechies 这样的人已经成功地对尺度和移位参数进行了采样，以获得“离散”和完美的实现，可以反转。子采样因子和相关的冗余取决于小波，并与尺度和偏移有关。这可以作为在小波系数空间上执行的采样定理发送，就像离散傅里叶变换对频率 dmoain 中的规则频率进行采样一样。

然后 Yves Meyer 设法找到了一个特殊的小波族，它允许使变换正交和离散，就像离散傅里叶变换一样。人们知道，离散正交变换，如以矩阵形式实现的 DFT，可以通过离散频率处的傅立叶系数之间的巧妙关系，使快速算法 (FFT) 受益。

然后，Stéphane Mallat 等人设法将多分辨率分析公式化为一组具有包含属性的嵌入式子空间，从而产生两尺度父函数或父函数和母函数之间的关系。这种线性关系可以解释为给定滤波器的卷积。并且这种关系在跨尺度上是有效的，并且允许快速（线性复杂度）算法。

最后，工作已经完成，要么将这些系数与特定的小波联系起来。这允许导出哪些小波可以实现为滤波器组。该理论建立在有限脉冲响应滤波器（有限支持小波，如 Daubechies、Coiflets、Symmlets 等）、多波段（M 波段）滤波器，以及无限脉冲滤波器、递归或冗余滤波器，甚至非线性滤波器上。小波是基本滤波器组无限迭代的结果。在实践中很少这样做，因为大多数数据的长度有限，实际有用的尺度数量有限。

因此，并非所有小波都可以通过有效的滤波器组完美地（可逆）实现。众所周知，离散正交小波不能是实数/对称/有限长度，除了 Haar 小波。然而，存在大量的离散小波可以有效处理多个信号/图像/点云/网格数据。

我认为这个问题的答案是小波分析方程定义中的参数s，即控制你应用函数的分辨率的参数。

分析方程指出，小波需要在不同的时间尺度上应用，这通过抽取在离散域中实现。因此，为了转换信号，您需要在不同的抽取阶段应用小波，具体取决于s的值。

现在让我们转到滤波器组。滤波器组方法是将信号分成不同频带的有效方法。举一个简单的例子，假设你想把一个 1MHz 的信号分成 4 个波段，每个波段都有 0.25MHz 的带宽。蛮力，你设计了四个滤波器，将 1MHz 信号应用于每个滤波器，你就完成了。如果您应用多速率信号处理理论，您只需要设计一个滤波器（如一个母小波）并将抽取的信号副本应用于滤波器（如您在小波分析中所做的抽取）并以 1/4 的速度获得输出输入速率（与输入不同的时间尺度）。现在您可以看到小波的应用方式与滤波器组的应用方式之间存在很强的相关性。你实际上可以使用多速率信号处理理论来进行小波分析。

免责声明 我可能过度简化了理论来理解这一点。该示例试图为您提供问题的答案，但现在意味着给出了小波或多速率信号处理理论的完整画面。