信息处理 - 时变傅里叶变换的可逆性 - 吾爱随笔录

我正在阅读 Oppenheim & Schafer (O&S) 的离散时间信号处理（第 2 版或第 3 版，没关系），我发现很难理解瞬态傅里叶变换（TDFT 从现在开始）背后的技术性。具体来说，我有一个关于 TDFT 可逆性的问题。

根据教科书，TDFT由下式给出

X [n, λ) = \sum_{m = - \infty}^{+ \infty} x [n + m] w [m] e^{- j λ m}

$X[n, \lambda) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty}x[n+m]w[m]e^{-j\lambda m}$ 这可以被认为是样本周围的窗口信号部分的 DTFT

n

$n$ . 因此，通过一次移动一个样本，我们可以“收集”样本周围的窗口信号部分的 DTFT

n

$n$ ，并且 TDFT 是一个 3D 函数（仅考虑幅度），具有轴

n

$n$ 与轴

λ

$\lambda$ .

然后，O&S 提到 TDFT 是可逆的 iff $w[m]$ 至少有一个非零样本。

如果我们采用傅里叶合成方程，我们得到：

x [n + m] w [m] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} X [n, λ) e^{j λ m} d λ, - \infty < m < + \infty

$x[n+m]w[m]=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} X[n,\lambda)e^{j\lambda m}d\lambda, \: \: \: -\infty < m < +\infty$ 这很有意义，因为它重建了样本周围的加窗信号

n

$n$ 来自由 DTFT 加权的复指数

X [n, λ)

$X[n, \lambda)$ . 按窗口划分：

x [n + m] = \frac{1}{2 π w [m]} \int_{0}^{2 π} X [n, λ) d λ

$x[n+m] = \frac{1}{2\pi w[m]}\int_0^{2\pi} X[n, \lambda)d\lambda$ 如果

w [m] \neq 0

$w[m] \neq 0$ .

这是我的问题： $e^{j\lambda m}$ 学期去？？

这个方程不是应该恢复完整的窗口信号吗 $x[n+m]$ ? 积分在我看来是一个数字（求和 $X[n,\lambda)$ 所有人的价值观 $\lambda$ 在索引 $n$ TDFT）。

所有 O&S 版本中都有相同的等式，所以我想这不是错字，我在这里遗漏了一些非常基本的东西：D

提前致谢。