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如何求解 MMSE 接收器的方程？

信息处理过滤器数字通信统计数据咪咪

2022-02-08 03:35:35

给定最小均方误差接收器 [1] 的可实现速率的以下等式：

μ = \frac{1}{K - 1} \sum_{i = 1, i \neq k}^{K} \frac{1}{M p d_{i} (1 - \frac{K - 1}{M} + \frac{K - 1}{M} μ) + 1}

$\mu = \frac{1}{K-1} \sum_{i=1, i \neq k}^{K}{\frac{1}{Mpd_{i}\left(1 - \frac{K-1}{M}+ \frac{K-1}{M}\mu \right) + 1}}$

和

κ (1 + \sum_{i = 1, i \neq k}^{K} \frac{p d_{i}}{{(M p d_{i} (1 - \frac{K - 1}{M} + \frac{K - 1}{M} μ) + 1)}^{2}}) = \sum_{i = 1, i \neq k}^{K} \frac{p d_{i} μ + 1}{{(M p d_{i} (1 - \frac{K - 1}{M} + \frac{K - 1}{M} μ) + 1)}^{2}}

$\kappa \left(1 + \sum_{i=1, i \neq k}^{K}{\frac{pd_{i}}{ \left( Mpd_{i}\left(1 - \frac{K-1}{M}+ \frac{K-1}{M}\mu \right) + 1 \right)^2} } \right) = \sum_{i=1, i \neq k}^{K}{\frac{pd_{i}\mu + 1}{ \left( Mpd_{i}\left(1 - \frac{K-1}{M}+ \frac{K-1}{M}\mu \right) + 1 \right)^2} }$

我必须找到， $\mu$ 和 $\kappa$ . 我正在尝试用matlab求解这些方程，首先我尝试使用solve然后vpasolve，但是，当 $d$ 是一个具有不同数字（即随机）的向量，matlab 似乎永远找不到解决方案。对于这种情况 $d$ 例如，它是一个所有值都等于 1 的向量，它可以快速找到解决方案。

这是我用来寻找解决方案的脚本： https ://pastebin.com/AWDwyR0U

难道我做错了什么？有没有更快的方法来找到这些方程的解？

参考：

[1] Hien Quoc Ngo、Erik G. Larsson 和 Thomas L. Marzetta，“超大型多用户 MIMO 系统的能量和频谱效率”，IEEE Transactions on Communications，第一卷。61，没有。4，2013 年 4 月。

2个回答

我怀疑是否存在一般的封闭式解决方案。对于第一个方程，你基本上想解决

μ = \sum_{k} \frac{1}{a_{k} + b_{k} μ}

$\mu=\sum_k \frac{1}{a_k+b_k \mu}$ 为了

μ

$\mu$ 这等于搜索 a 的零点

k + 1

$k+1$ 三阶多项式，这是不可能的

k > 3

$k>3$ . 所以，我担心你需要做一个数字解决方案。一旦你有

μ

$\mu$ 您可以进行简单的计算

κ

$\kappa$ .

关于数值解，这里有一个图

μ - \sum_{k} \frac{1}{a_{k} + b_{k} μ}

$\mu-\sum_k \frac{1}{a_k+b_k \mu}$ 这应该成为

0

$0$ 解决方案：

N = 7
d = np.random.rand(N)
K = N+1
M = 16
p = 1

f = lambda mu: mu - 1/(K-1)*sum(1/(M*p*d_i*(1-(K-1)/M+(K-1)/M*mu)+1) for d_i in d)

mu = np.linspace(-5,5,10000)
plt.grid(True)

plt.plot(mu, f(mu))
plt.ylim((-0.5,0.5))

所以，有多种解决方案。也许你需要选择一个积极的？

我找到了一种数值求解的方法。首先我们把方程改成

μ - \frac{1}{K - 1} \sum_{i = 1, i \neq k}^{K} \frac{1}{M p d_{i} (1 - \frac{K - 1}{M} + \frac{K - 1}{M} μ) + 1} = 0

$\mu - \frac{1}{K-1} \sum_{i=1, i \neq k}^{K}{\frac{1}{Mpd_{i}\left(1 - \frac{K-1}{M}+ \frac{K-1}{M}\mu \right) + 1}} = 0$

和

κ (1 + \sum_{i = 1, i \neq k}^{K} \frac{p d_{i}}{{(M p d_{i} (1 - \frac{K - 1}{M} + \frac{K - 1}{M} μ) + 1)}^{2}}) - \sum_{i = 1, i \neq k}^{K} \frac{p d_{i} μ + 1}{{(M p d_{i} (1 - \frac{K - 1}{M} + \frac{K - 1}{M} μ) + 1)}^{2}} = 0

$\kappa \left(1 + \sum_{i=1, i \neq k}^{K}{\frac{pd_{i}}{ \left( Mpd_{i}\left(1 - \frac{K-1}{M}+ \frac{K-1}{M}\mu \right) + 1 \right)^2} } \right) - \sum_{i=1, i \neq k}^{K}{\frac{pd_{i}\mu + 1}{ \left( Mpd_{i}\left(1 - \frac{K-1}{M}+ \frac{K-1}{M}\mu \right) + 1 \right)^2} } = 0$

接下来，通过使用 Matlab 中的 fzero 我们发现 $\mu$ ，最后，使用 $\mu$ 和 fzero 再次我们可以找到 $\kappa$ .

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