在阅读本书中关于 FFT 的描述时，我发现了以下语句：
...用零稀释时域对应于频谱的重复。
我怎样才能直观地或以其他方式证明这一点？我已经阅读了傅里叶变换的一些属性，例如时域和频域中的循环移位等，但我无法推断频域中的重复将如何发生。下面说明这一点：
时域样本
x(0)=a
x(1)=b
x(2)=c
x(3)=d
频域样本
X(0)=A
X(1)=B
X(2)=C
X(3)=D
在时域中用 0 稀释
x(0)=a
x(1)=0
x(2)=b
x(3)=0
x(4)=c
x(5)=0
x(6)=d
x(7)=0
具有重复值的频域样本
X(0)=A
X(1)=B
X(2)=C
X(3)=D
X(4)=A
X(5)=B
X(6)=C
X(7)=D
频域样本具有重复值。为什么？
不幸的是，我无法对此给出直观的解释，但让我尝试证明这一点。在阅读过程中，请非常小心索引，因为它们可能会造成混淆！我使用从零开始的索引。如果我错了，请纠正我。
让我们
成为 N 个元素的未稀释时域。
所以，稀释的向量看起来像这样：
x的频谱由给出
。
y的频谱，稀释后的 x 为
。注意 Y 的长度等于 2N。
现在我想证明稀释频域的右半部分是从左半部分“复制”出来的，即
. 我想只证明最后一个等式就足够了，但前两个有助于理解这个想法。
通过扩展 Y[0] 和 Y[N] 的总和，我们得到：
Y[0] 和 Y[N] 相等的事实可以很容易地通过注意到
因为它是周期性的性质而看出 - 参见欧拉的关系：
。稍后我们将利用 exp(j*phi) 的这一特性将指数“移动”前后 2nPi。
下一个（不必要，但很好检查）步骤是证明 Y[1] = Y[N+1]。让我们展开：
因为无论x值如何，Y[1] = Y[N+1] 都必须成立，所以它可以做到这一点的唯一方法是当正确 xn 旁边的指数相等时。让我们证明一下
。如果我们能做到这一点，那么当 a=0 时，我们证明 Y[1] 和 Y[N+1] 中 x0 旁边的指数相等。当 a=1 时，证明 x1 附近的指数相等，依此类推，直到 a=N-1。
如您所见，这并不难。这更像是展示而不是证明。如果您想知道为什么 2pi*a 消失了，请再次查看欧拉关系，并可能以 cos - isin 形式重写证明的中间步骤。现在应该更清楚了，您可以从 sine 或 cosine 函数的参数中添加或减去 2pi 而不会影响它的值。
好的，让我们继续下一个（唯一必要的）部分。Y[k]=Y[k+N]。
像上次一样，让我们展示 xn 附近的指数相等：
思路是一样的，只是最后一点的数字最少，变量最多，是最一般的情况。它足够普遍，我认为这是证明的结束。
希望能帮助到你 ：）