我在时域中有一个 s 形的非周期性信号，我想过滤并计算使用 FFT 的导数。当然，s 形末端的跳跃对获得的幅度谱有很大的影响。我试图通过应用窗口函数来消除跳跃的影响，而不会减少测量的开始和结束的权重。
因此，作为在黑暗中的第一枪，我的想法是通过在测量结束时镜像 s 形来“蛮力”使信号成为周期性信号，从而产生“钟形曲线”。这种方法在滤波后的信号中产生了显着改进的结果，并实现了对导数的良好近似。我很高兴这种方法有效，它帮助我最近取得了很大进步。
但是，我仍然对为什么这种方法首先有效感到困惑。我的输入信号上的镜像操作不应该显着影响输出吗？我忽略了这种方法起作用的理论上的原因吗？
预先感谢您的所有想法和解释。
编辑：我包含了一个简化的示例，说明我为暴力破解周期信号所做的工作。可以观察到，橙色曲线（没有测量噪声的理想测量）具有 s 形并在某个值处突然结束。我围绕其最后一个值镜像曲线以强制形成周期性的“钟形曲线”。
将初始信号与其反向级联有两件值得注意的事情，这有助于 OP 的进一步处理：
首先也是最重要的是，它通过创建等效的周期性波形来最小化可见的末端不连续性。有限持续时间波形的傅立叶变换结果等价于所有时间周期性扩展的相同波形的变换（特别是非零傅立叶结果）。这种可视化有助于更直观地理解等效连续时间采样上下文中不连续性的影响：需要非常高的频率分量才能在非常短的时间内转换；对于采样系统，这些高频分量混叠回低频，我们可以将结果视为“频谱泄漏”）。
其次，值得注意的是，它会在频率上产生线性相位响应。这与任何 FIR 滤波器及其反向滤波器的级联相似但不完全相同：两者卷积后的结果系数将是对称的，频率响应将是线性相位，幅度响应作为两个滤波器的级联（因此具有“平方幅度”响应）。考虑如果 t=0 位于结果镜像时域信号的中心：作为傅立叶变换的结果频域信号将是实数（在时域中 t=0 处关于垂直轴对称，或者在时域中 f=0频域在另一个域中总是真实的）。然后将其作为因果信号转移到以后的时间，而不是在频率上是真实的，具有完全相同幅度的结果响应添加了一个额外的线性相位，但不会改变（频率中的线性相位是时间上的固定延迟）。一个可能更直观的例子是频域中的一个类似例子，以及由于对称性，时域如何是真实的：考虑它是一个实时域信号，在频域有两个对称脉冲, （我们用欧拉公式看到这一点）。仅使用其中一个频域脉冲，时域波形将是复杂的并给出为.
第二点是实值序列的傅里叶变换是共轭对称的定理的结果（因此等价地共轭对称序列的傅里叶变换是实数），并且只是描述了结果如何变为线性相位（实数加上额外的时间延迟，因此与线性相位复杂）。最重要的是，OP 减少了由于时间上非常大的不连续性造成的混叠效应，而原始时域序列可以从频域中完全恢复，因此在转换回时间之前的任何后续频率处理都不太容易出现失真效应域，并注意到这是在没有修改任何原始时域样本的情况下完成的（就像窗口化所做的那样）。