假设我有一个信号，定义如下，$x(t)$

$x(t) = \begin{cases} 0 &\text{if} \,\,\, t < -\alpha/2 \\ \frac 1\alpha t+\frac12 &\text{if} \,\,\, -\alpha/2 \leq t \leq \alpha/2 \\ 1 &\text{if} \,\,\, t > \alpha/2 \end{cases}$

因此，是一些信号，它附近的某个时间尺度到的跳跃。对于，具有不连续的跳跃或边缘。$x(t)$$0$$1$$\alpha$$t = 0$$\alpha = 0$$x(t)$

的高斯噪声添加到。因此，的信噪比为 1。$\sigma = 1$$x(t)$$x(t)$

上使用某种边缘保持平滑滤波器来确定。很明显，任何平滑滤波器都会稍微洗掉这个边缘，并且很难区分具有的信号和具有的信号以获得一些最小 alpha。但是应该有一些可以与锐边区分开来的$x(t)$$\alpha$$\alpha = 0$$\alpha = \alpha_{\mathrm{min}}$$\alpha$

例如，某个尺度的高斯平滑滤波器将无法区分，但应该能够检测大于滤波器尺度的$\alpha$$\alpha$

在这种情况下，平滑滤波器在边缘保留方面的最佳性能是什么？也就是说，对于这种低信噪比的情况，我可以使用的最好的平滑滤波器是什么，它能够区分最小的和可能的。$\alpha = 0$$\alpha = \alpha_{\mathrm{min}}$$\alpha_{\mathrm{min}}$

现在，显然，在实践中我们有离散信号，将以某个采样率进行采样。所以，希望这个问题的答案能够解决这个问题。回答这个问题好像它指的是一个连续的信号并没有真正的用处。$x(t)$