信息处理 - 在傅里叶变换中使用对称核有什么好处？ - 吾爱随笔录

在傅里叶变换中使用对称核有什么好处？

信息处理自由度核心

2022-02-18 18:02:40

在图像处理中，像素图像从空间域坐标到变换域坐标的正向变换可以定义为 [1, p.12] ： $M\times N\text{-}$ $f$ $(x, y)$ $(u, v)$

T (u, v) = \sum_{x = 0}^{M - 1} \sum_{y = 0}^{N - 1} f (x, y) \cdot r (x, y, u, v)

$T(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\cdot r(x,y,u,v)$

如果 [1, p.13]，则称变换核是对称的， $r(x, y, u, v)$

r (x, y, u, v) = r_{1} (x, u) \cdot r_{1} (y, v)

$r(x, y, u, v) = r_1(x, u) \cdot r_1(y, v)$

离散傅里叶变换中的前向核是 [1, p.35]：

r (x, y, u, v) = e^{- j 2 π (\frac{u x}{M} + \frac{v y}{N})} (u = 0, 1, \dots, M - 1, v = 0, 1, \dots, N - 1)

$r(x,y,u,v) = e^{-j2\pi\left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}\\(u=0,1,\dots,M-1,\,v=0,1,\dots,N-1)$

我的问题是，在傅里叶变换中使用对称核有什么好处？

我已经知道可分离内核的好处。

[1]：“傅立叶变换”幻灯片组，George Bebis (UNR)。基于“数字图像处理”的第 4 章，冈萨雷斯和伍兹。http://www.cs.umb.edu/~duc/cs447_647/spring13/slides/FourierTransform.pdf（存档副本）

2个回答

一组沿笛卡尔轴的对称核应该使变换与输入的（至少 90 度）旋转一致。如果 2D 输入产生特定的 2D 输出，将相同的 2D 输入旋转 90 度角，应该会产生相同的 2D 输出旋转 90 度。如果二维中的内核不对称，则变换将产生不同的输出，这些输出无法旋转回以匹配原始输出。

我不得不考虑是否将不变性应用于不是 90 度的倍数的角度。

您可能还想查看具有圆对称内核的 Abel 变换，这对于具有圆对称的物理情况很有用。

让我们看看离散傅里叶变换 (DFT) 是否具有对称变换内核。如果是这样，那么：

r_{1} (x, u) = e^{- j 2 π \frac{u x}{N}}

$r_1(x,u)=e^{-j2\pi\frac{ux}{N}}$

\begin{aligned} r (x, y, u, v) & = r_{1} (x, u) \cdot r_{1} (y, v) \\ = e^{- j 2 π \frac{u x}{N}} \cdot e^{- j 2 π \frac{v y}{N}} \\ = e^{- j 2 π \frac{u x + v y}{N}} . \end{aligned}

$\begin{align}r(x, y, u, v) &= r_1(x, u) \cdot r_1(y, v)\\ &= e^{-j2\pi\frac{ux}{N}}\cdot e^{-j2\pi\frac{vy}{N}}\\ &= e^{-j2\pi\frac{ux + vy}{N}}.\end{align}$

这仅与问题对 DFT 变换内核的定义相匹配：

r (x, y, u, v) = e^{- j 2 π (\frac{u x}{M} + \frac{v y}{N})},

$r(x,y,u,v) = e^{-j2\pi\left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)},$

如果 $M = N.$

回顾一下，如果图像及其变换具有这可能会带来一些好处。 $N\times N,$

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