信息处理 - 使用线性算子检查微分方程的时间不变性？ - 吾爱随笔录

信息处理线性系统

2022-02-05 18:02:05

我有一个微分方程我需要看看是否这个具有输入和输出的系统是时间不变的和线性的。我试图通过用线性算子 D 作为导数来分解方程。

\frac{d^{2} y (t)}{d t^{2}} + y (t) = \frac{d x (t)}{d t} + x^{2} (t)

$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+y(t) = \frac{dx(t)}{dt} + x^2(t)$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

所以我得到：

y (t) = \frac{D x (t) + x^{2} (t)}{D^{2} + 1}

$y(t) = \frac{Dx(t)+x^2(t)}{D^2 + 1}$

但问题是，这个方程没有意义，因为你是除以导数运算符。但是，从数学上讲，它可以解决，所以我可以以这种形式获得并使用这种方法测试线性或时间不变性吗？ $y(t)$

1个回答

让通过将系统的输入与输出相关联来描述系统。然后，要检查线性度，只需检查（即常数）。你会看到，那 $y(t)=\mathcal{H}(x(t))$ $x(t)$ $y(t)$ $x(t)=1$

H (x (t) = 1) + H (x (t) = 1) \neq H (x (t) = 1 + 1)

$\mathcal{H}(x(t)=1)+\mathcal{H}(x(t)=1)\neq \mathcal{H}(x(t)=1+1)$

这是对线性度的要求之一。所以，系统是非线性的。二次计数的事实立即看出这一点，这是一种非线性关系。 $x(t)$

关于时间不变性，您会看到所有函数的时间参数都是相同的，并且方程本身没有使用时间值（例如不会是时间不变的）。所以，系统是时不变的。 $t\cdot x(t)$

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