信息处理 - 的数字生成噪声的 PSD 中的一些细微之处小号X( f) = A ( f)SX(f)=A(f) - 吾爱随笔录

的数字生成噪声的 PSD 中的一些细微之处小号X( f) = A ( f)SX(f)=A(f)

信息处理过滤器过滤器设计噪音功率谱密度

2022-02-24 18:35:18

我知道标题不是最具描述性的，但我不知道如何以更字面的方式描述我的问题。情况如下：

我想以数字方式生成具有任意功率谱密度的噪声。为此，我通过简单地独立样本，然后用滤波器幅度它们进行数字滤波，生成了。可以很容易地证明这导致，其中是用过滤得到的系列。 $S(f) = A(f)$ $X$ $S_X(f) = 1$ $n$ $\sigma = 1$ $F(f) = \sqrt{A(f)}$ $S_Y(f) = A(f)$ $Y$ $X$ $F(f)$

我在实践中使用 Mathematica 的FrequencySamplingFilterKernel和ListConvolve做到了这一点。为此，当然需要知道所需，在我的示例中，我想成为中心频率给出的全宽最大 b $A(f)$ $f_0$

A (f) = \frac{1}{1 + {(\frac{f - f_{0}}{b})}^{2}}

$\begin{equation} A(f) = \frac{1}{1+\left(\frac{f-f_0}{b}\right)^2}\end{equation}$

所以我采用这个方程，对其进行采样，创建滤波器幅度并过滤白噪声。使用 Welch 方法分析时，得到的 PSD看起来符合预期。 $S_Y(f)$

但现在我对上面的一个微妙之处感兴趣。正如我所指出的，上述洛伦兹不是真实信号的适当功率谱密度；。但是该方法仍然有效，因为我没有得到任何复杂的数值数据，并且周期图在正频率处显示了正确的频谱。所以我的问题是，使用这种方法，负频率发生了什么？我是否基本上创建了一个 PSD，其中或者它更像是其中 $A(f) \neq A(-f)$

A (f) = \frac{1}{1 + {(\frac{f - f_{0}}{b})}^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{f + f_{0}}{b})}^{2}}

$\begin{equation} A(f) = \frac{1}{1+\left(\frac{f-f_0}{b}\right)^2} + \frac{1}{1+\left(\frac{f+f_0}{b}\right)^2}\end{equation}$

A (f) = \frac{1}{1 + {(\frac{f - sgn [f] f_{0}}{b})}^{2}}

$\begin{equation} A(f) = \frac{1}{1+\left(\frac{f-\textrm{sgn}[f]f_0}{b}\right)^2}\end{equation}$

s g n [\dots]

$\mathrm{sgn}[\dots]$ 是符号函数。

这些是我能想到的唯一合理的情况，由上述引起。它们的行为非常相似，除了处具有不连续导数；这在物理上是可能的吗？ $f=0$ $f=0$

因此，我的问题是我最终得到了什么 PSD；我上面提到的两个之一，甚至第三个？

1个回答

你只看正频率。负频率也在那里。所以是的，频谱确实是（有一些符号的滥用）

A (f) \approx \frac{1}{1 + {(\frac{f - s g n (f) f_{0}}{b})}^{2}}

$\begin{equation} A(f) \approx \frac{1}{1+\left(\frac{f-\mathrm{sgn}(f)f_0}{b}\right)^2}\end{equation}$

使得PSD相对于轴镜像。 $y$

我不会说 Mathematica，但我可以告诉你它是如何工作的。您的 FrequencySamplingFilterKernel 实际上是一种简单的频率采样方法，用于构建具有任意幅度频率响应的 FIR 滤波器（类似于 Matlab 的fdesign.arbmag）。鉴于您有个频率响应点，它实质上计算了一个脉冲响应（通过采用逆 DFT），其傅里叶变换在相应频率下评估时等于您所需的频谱。那是： $N$

h [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} H (k) e^{j \frac{2 π}{N} k}

$h[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}H(k)e^{j\frac{2\pi}{N}k}$

其中是所需的 DFT（即来自个样本）。 $H(k)$ $N$ $\sqrt{A(f)}$

请注意，FrequencySamplingFilterKernel 文档（在 details 和 options 下）中的默认脉冲响应是具有偶数对称性的奇数长度 FIR 滤波器。从这一点开始，一切都只是使用进行的常规 FIR 过滤，当过滤实际过程时，它将生成具有均匀对称性的 PSD：其中等于在给定的个期望点。 $h[n]$ $h[n]$

S_{Y} (f) = | H (f) |^{2} S_{X} (f)

$S_Y(f)=|H(f)|^2S_X(f)$

| H (f) |^{2}

$|H(f)|^2$

| A (f) |

$|A(f)|$

N

$N$

如果你想在 Matlab 中做：

N = 100;
f = 0:0.01:1;
b = 1;
f0 = 0.75;
A =sqrt(1./(1+((f-f0)./b).^2));
d = fdesign.arbmag('N,F,A',N,f,A);
hd = design(d,'freqsamp');
w = -pi:.001:pi;
freqz(hd,w);
x=randn(1000000,1);
y=filter(hd,x);
psd(y);

使用低阶 FIR 近似 ( N=8)：

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