信息处理 - 如何在 MATLAB 上使用 DFT、调制和重采样的正频率实现 IDFT？ - 吾爱随笔录

这个问题是DFT 向量上的线性算子如何仅使用一半 DFT 向量产生相同向量的讨论的延续？，如果有兴趣，可以更好地解释更高层次的动机。

问题：

如何从 Hermitian 对称 DFT 向量中取正频率，取其 IDFT（这是复数），乘以载波以移动频谱，重新采样，取其实部，并获得与原始厄米对称符号的 IDFT 会得到什么结果？

细节：

我真的很感激能检查我的理解和我提到的概念。

考虑某个信号 Hz 的带宽。如果我考虑由正频率（从直流到奈奎斯特）表示的信号，它与移动频谱的正侧并将其集中在频率 0 相同。现在，新频谱不再是厄米对称的，产生复杂的 IDFT 并表示的带宽。 $\mathbf{X}$ $B$ $\frac{B}{2}$

使用一个数值示例，对于，考虑从 DC 到 Nyquist，这将给出 5 个正频率和 3 个负频率。然后，我会将 5 个 DFT 样本（对应于正频率）移动到频谱的中心。在这种情况下，新的 DFT 大小将是奇数，奈奎斯特频率（在 k= 5/2 = 2.5 处）不会落在 DFT 样本上 $N=8$

此时，我的信号带宽限制为。然后，如果我将此信号与频率为的载波相乘，我会将频谱再次移动到正负侧，从而重建原始频谱。但是，由于此操作会将带宽增加到 Hz，因此乘积需要将其采样频率增加 2 倍，以便频谱实际上可以表示没有混叠的信号。 $\frac{B}{2}$ $\frac{B}{2}$ $B$ $x[n]*c[n]$

载体应该是指数的：

\begin{aligned} c [n] = e^{j 2 π n k_{0} / N} \end{aligned}

$\begin{align} c[n] = e^{j2\pi n k_0/N} \end{align}$ 其中是要移位的 DFT 样本数。在这种情况下，，这样：

k_{0}

$k_0$

k_{0} = \frac{N}{2}

$k_0 = \frac{N}{2}$

\begin{aligned} c [n] = e^{j π n} \end{aligned}

$\begin{align} c[n] = e^{j \pi n} \end{align}$

最后，在重新采样之后，我应该取信号的实部，这应该等于原始的 IDFT（通过对原始厄米对称符号的 IDFT 进行简化获得的部分）。

但是，我主要对以下问题感到困惑：

从 DC 到 Nyquist 有 5 个 DFT 样本。这将产生一个大小为 5 的复杂 IFFT，然后，我将逐点乘以 5 个载波样本并上采样 2，得到 10 个样本。另一方面，原始 IDFT 的长度为 8。
我不确定参与真实部分的理由。
我不确定指数是否是正确的载体。

MATLAB实现：

这是我试图使工作的代码。

N=4;
A=rand(N-1,1) + j*rand(N-1,1); % Random positive carrier
X=[0; A; 0; flipud(conj(A))]; % Hermitian symmetric DFT vector

x = ifft(X)

% Positive side of the spectrum shifted to the center
Xp = [X((N/2 + 1):N+1); X(1:N/2);];

% Complex IFFT:
xp = ifft(Xp);

% Carrier
n=(0:N);
k0 = (N+1)/2;
carrier = exp(j*2*pi*k0*n/(N+1)).';

% Modulation
x_up = xp.*carrier;

% Increase the sampling rate by a factor of two
x_re = resample(x_up,2,1); 

real(x_re)

我基本上希望打印到工作区的两个向量相等：x and real(x_re)