从数学迁移...我正在尝试计算或近似以下傅里叶正弦变换问题的解决方案，该问题可以表示为周期性源的贡献$f_i(x)$和权重$a_i(x)$ ：

$$F(k) = \int_{0}^\infty dx \space{} \space{} \sin(2\pi k x) \sum_{i=1}^N a_i(x) f_i(x)$$

在哪里$a_i(x)$是已知的并且具有解析单调形式（$\sim b_i x^{-c_i }$)，以及所有单个来源的数字总和$f_{tot}(x)=\sum_i f_i(x)$也是已知的，但不是个人$f_i(x)$. 个人$f_i$是未知的周期函数（可以是正弦的总和，例如$f_1=sin(1.4x)+sin(4.9x)+...$等），因此它们的预期变换应该是其频率附近的峰值。所有函数都是实值且平滑的。

我试图做出以下近似：

$$F(k) \sim \int_{0}^\infty dx \space{} f_{tot}(x) \space{} \sin(2\pi k x) \sum_{i=1}^N a_i(x)$$

并得到了峰值位置$F(k)$获得，但它们的相对幅度并不像预期的那样准确，因为每个源$f_i(x)$未通过其相应的适当缩放$a_i(x)$.

有没有办法进一步使用我提供的信息来捕获或反卷积幅度以及峰值位置？将有$N$是一个相对较小的整数，所以$f_i(x)$并且频率峰值会相对较低（稀疏）有帮助吗？还是有像 svd 或其他矩阵分解这样的通用方法可以在这里提供帮助，我只是不知道如何使用它？