更新

• 这个问题纯粹是理论上的，不应考虑任何心理声学效应或实际实施。
• 也许这个问题应该改写为“在单个精度系统中应用最平滑的淡入淡出需要多长时间”？

在 32 位浮点系统中生成正弦波，采样率为 44.1 kHz。手头的任务是在不使用抖动的情况下以尽可能少的数字失真（这是“正确”的含义）淡出这个正弦。下面的数学解析为大约 6 分 20 秒。它是否正确？

公理

• 32 位浮点系统中的数字音频用值 -1.0 到 1.0 表示
• 此范围内的所有值均已归一化
• 正弦波在 1.0 和 -1.0 处达到峰值
• 音频分辨率为，由 23 位尾数 + 1 个隐含（标准化）位 + 1 个符号位组成。$2^{25}$
• 可能的增益系数为，值范围在 0.0 到 1.0 之间$2^{24}$

淡出

由于增益值的量化，任何衰减都会产生失真。

例如，如果在两个连续样本之间发生从单位增益 (1.0) 到静音 (0.0) 的衰减，则类似于减少 1 位（这将产生与正弦相位相关的高频和低频失真）。如果淡入淡出超过 4 个样本，将有 4 个增益步骤；8 个样本意味着 8 个增益步骤；等等。

因此，最平滑的衰减可能是每个样本之间的增益变化最小可能量，即。这给出了增益步骤。$1/2^{24}$$2^{24}$

$2^{24} = 16,777,216$

这意味着淡入淡出需要 16,777,216 个样本。如果系统采样率为 44,100 Hz：

$16,777,216 / 44,100 = ~380.4$秒。

这大约等于 6 分 20 秒。

这似乎不合理。那么计算错误在哪里呢？

只是为了进一步证明我在说什么失真。

原正弦及其频率分析：

长褪色：

中等渐变（50 个样本）：

并使用 1 个样本淡入淡出：