信息处理 - 频域滤波器方程和时域差分方程之间的联系？ - 吾爱随笔录

信息处理过滤器频率卷积

2022-02-18 16:43:22

我知道滤波器的频率响应由等式描述：

H(w) = 1-1.176*e^(-jw) + e^(-j2w)，其中 w 是角频率。

然后在时域中，我有一个由差分方程描述的滤波器：

y(k) = x(k)-1.176*x(k-1)+x(k-2)

现在我被要求解释这些方程之间的联系以及为什么两个方程的系数是相同的[1 -1.176 1]？

我一直在阅读书籍并试图在互联网上查找信息，但没有任何解决方案。有人可以解释一下这些方程式的联系吗？为什么系数相同？

我有一个想法，这两个方程可能代表相同的滤波器，但在不同的域（时间和频率）。卷积与此有关吗？

3个回答

暗示：

传递函数 $H(\omega)$ 等于输出和输入光谱的比率：

H (ω) = \frac{Y (ω)}{X (ω)}

$H(\omega)=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}$

所以你的第一个方程可以重写为

Y (ω) = X (ω) - 1.176 X (ω) e^{- j ω} + X (ω) e^{- 2 j ω}

$Y(\omega)=X(\omega) - 1.176X(\omega)e^{-j\omega} + X(\omega)e^{-2j\omega}$

如果你把这个方程转换到时域，你会得到什么？

或者换一种说法，如果输入是测试正弦曲线，滤波器的结果是什么？ $x(k)=e^{jkω}$

y (k) = e^{j k ω} - 1.176 e^{j (k - 1) ω} + 6 e^{j (k - 2) ω} = (1 - 1.176 e^{- j ω} + e^{- 2 j ω}) e^{j k ω} = H (ω) x (k)

$y(k)=e^{jkω}-1.176e^{j(k-1)ω}+6e^{j(k-2)ω}=(1-1.176e^{−jω}+e^{−2jω})e^{jkω}=H(ω)x(k)$

另一种解释是记住频率响应是通过让获得的。因此，您使用与先前答案类似的数学。 $z=e^{j\omega}$

所以我们有现在可以利用 z 变换的性质，即只是一个延迟元素，来获得时域差方程。

H (z) = \frac{Y (z)}{X (z)} = 1 - 1.176 z^{- 1} + z^{- 2}

$H(z)= \frac{Y(z)}{X(z)} = 1-1.176z^{-1} + z^{-2}$

Y (z) = X (z) - 1.176 X (z) z^{- 1} + X (z) z^{- 2}

$Y(z)=X(z) -1.176X(z)z^{-1}+X(z)z^{-2}$

z^{- 1}

$z^{-1}$

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