负频率对正弦波没有多大意义，但傅立叶变换不会将信号分解为正弦波，而是将其分解为复指数（也称为“复正弦波”或“ cisoid s”）：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$$

这些实际上是螺旋，在复平面中旋转：

（来源：理查德·莱昂斯）

螺旋可以是左旋或右旋（顺时针或逆时针旋转），这就是负频率概念的来源。您也可以将其视为在时间上向前或向后的相位角。

在实信号的情况下，总是有两个等幅度的复指数，它们以相反的方向旋转，因此它们的实部结合而虚部抵消，结果只剩下一个实数正弦曲线。这就是为什么正弦波的频谱总是有 2 个尖峰，一个正频率和一个负频率。根据两个螺旋的相位，它们可以抵消，留下纯正弦波，或真正余弦波，或纯虚正弦波等。

负频率分量和正频率分量都是产生真实信号所必需的，但如果您已经知道它是真实信号，那么频谱的另一侧不会提供任何额外信息，因此它经常被挥手而忽略。对于复杂信号的一般情况，您需要了解频谱的两侧。

假设你有一个纺车。你会如何描述它的旋转速度？您可能会说它以X每分钟转数 (rpm) 旋转。现在你如何用这个数字传达它在哪个方向旋转？X如果它顺时针或逆时针旋转，它的转速相同。所以你挠挠头说哦，好吧，这是一个聪明的主意：我将使用约定+X来表示它是顺时针旋转和-X逆时针旋转。瞧！你发明了负转速！

---

负频率与上面的简单示例没有什么不同。从纯音正弦曲线的傅里叶变换可以看出负频率如何出现的简单数学解释。

考虑复正弦曲线的傅里叶变换对：（忽略常数乘数项）。对于纯正弦曲线（实数），我们有欧拉关系：$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

因此，它的傅立叶变换对（同样，忽略常数乘数）：

$$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$$

你可以看到它有两个频率：根据定义，一个在 \omega_0 的正频率一个在的负频率！的复正弦曲线被广泛使用，因为它在简化我们的数学计算方面非常有用。然而，它只有一个频率，而真正的正弦波实际上有两个。$\omega_0$$-\omega_0$$ae^{\jmath \omega_0 t}$

目前，我的观点（可能会发生变化）如下

对于正弦重复，只有正频率才有意义。物理解释很清楚。对于复指数重复，正频率和负频率都是有意义的。可以将物理解释附加到负频率。负频率的物理解释与重复方向有关。

维基上提供的频率定义是：“频率是每单位时间重复事件的发生次数”

如果坚持这个定义，负频率没有意义，因此没有物理解释。然而，这种频率的定义对于也可以有方向的复指数重复并不彻底。

在进行信号或系统分析时，一直使用负频率。其根本原因是欧拉公式以及复指数是 LTI 系统的特征函数这一事实。

$$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$$

正弦重复通常是有意义的，复指数重复通常用于间接获得正弦重复。通过考虑使用复指数编写的傅里叶表示，可以很容易地看出这两者是相关的，例如

$$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$$

然而，这相当于

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$$

因此，不考虑正的“正弦频率轴”，而是考虑负的和正的“复指数频率轴”。在“复指数频率轴”上，对于实信号，众所周知，负频率部分是多余的，只考虑正的“复指数频率轴”。在隐含地进行此步骤时，我们知道频率轴表示复指数重复而不是正弦重复。

复指数重复是复平面中的圆形旋转。为了创建一个正弦重复，它需要两个复指数重复，一个顺时针重复，一个逆时针重复。如果构造一个产生正弦重复的物理设备，其灵感来自于如何在复平面中创建正弦重复，即通过两个沿相反方向旋转的物理旋转设备，则可以说其中一个旋转设备具有负频率，因此负频率具有物理解释。

在许多常见应用中，负频率根本没有直接的物理意义。考虑在某些带有电阻器、电容器和电感器的电路中存在输入和输出电压的情况。只有一个频率的真实输入电压和一个频率相同但幅度和相位不同的输出电压。

此时您会考虑复杂信号、复杂傅立叶变换和相量数学的唯一原因是数学上的方便。你也可以用完全真实的数学来做到这一点，只是要困难得多。

有不同类型的时间/频率变换。傅里叶变换使用复指数作为其基函数并应用于单个实值正弦波恰好产生两个值的结果，该结果被解释为正频率和负频率。还有其他变换（如离散余弦变换）根本不会产生任何负频率。同样，这是数学上的方便问题。傅立叶变换通常是解决特定问题的最快和最有效的方法。