信息处理 - 节能卷积核？ - 吾爱随笔录 - 问答

节能卷积核？

信息处理过滤器自由度卷积

2022-02-02 17:44:36

是否存在一个函数，在连续或（主要是）离散时间中，与其卷积可以保留输入的能量？对于是有限值的，在时间上是有限支持的，并且： $x$

真实的还是复杂的？
真实的？
真实的和非负的？

其中“能量”指的是 L2^2：

E (f (x)) = \int_{a}^{b} | f (x) |^{2} d x or \sum_{n = a}^{b} | f [n] |^{2}

$\text{E}(f(x)) = \int_{a}^{b} |f(x)|^2 dx \ \ \text{or}\ \ \sum_{n=a}^{b} |f[n]|^2$

并且以下必须持有

E (h ⋆ x) = E (x)

$\text{E}(h \star x) = \text{E}(x)$

其中是线性或圆形卷积（对我都有效）。如果没有这样的内核，这可以证明吗？ $\star$

我知道三角洲的微不足道的情况；应该使得被非平凡地转换（不仅仅是复制、共轭、重新缩放、符号翻转等）。 $h$ $x$

想法：我们可以根据 Envidia 的回答用一个分布来满足 Plancherel 的公式，例如狄拉克三角洲，但不确定是否会有一些可以有限地实现的东西。

2个回答

假设满足调用 Plancherel（又名 Parseval）定理的条件，我们可以在频域中重新表述这一点，其中能量等式可以表示为 $E(x \star h) = E(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) H (f) |^{2} d f = \int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f

$\int_{-\infty}^{\infty}|X(f)H(f)|^2df = \int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^2df$

除非（全通），主要示例是您已经说过的时域中的 delta 函数。 $|H(f)| = 1$

我认为任何全通滤波器都应该这样做。由于它们仅在频域中改变相位而不是幅度，因此根据 Parseval 定理，时域能量保持不变。

\sum x [n]^{2} = \sum | X (k) |^{2}

$\sum x[n]^2 = \sum |X(k)|^2$

全通仅改变的相位，因此保持总能量。 $X(k)$

您可能会争辩说全通是 IIR 滤波器，因此它不适合作为卷积核（这意味着 FIR）。但是一些全通滤波器是 FIR（延迟），您始终可以将全通 IIR 脉冲响应截断为“所需精度”。

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