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如何解释傅立叶变换的结果？

信息处理傅里叶变换频谱

2022-02-03 05:03:55

例如，我在Wolfram|Alpha中输入了以下“方程” ：

FourierTransform[Piecewise[{{sin[t],t > 0 and t < 2*pi}}, 0], t, \[Omega]]

以便对这样的信号进行傅立叶变换：

原始窗口/分段正弦函数

并把它变成一些看起来像这样的图表：

跨不同范围的分段正弦函数的傅立叶变换

我的理解来自不断——但很随意！— 在音频处理和 SDR I/Q 数据处理的背景下听到傅立叶变换（和 DFT/FFT），是因为我现在有一些关于输入信号频谱的一部分的信息。然而，我正在努力加深我的理解，并重新回忆我几年前在微分方程课上开始学习的所有内容。

鉴于我最近的实践背景，我留下了以下问题，了解傅里叶变换刚刚为我做了什么：

为什么我会从纯实数输入中得到复杂的（实数/虚数）输出？（我将如何通过某种与我提供的“方程式”等效的“I/Q”？）
什么单位是欧米茄，如果t以秒为单位，它本质上是赫兹吗？负赫兹是什么意思？
如果输入函数实际上是电线上的电压，那么实部和虚部是否分别是分量频率的幅度和相位？

从https://dsp.stackexchange.com/a/24758/18819，我收集到，如果我主要关心给定频率的功率，我会采用复矢量的大小。从关于负频率的维基百科文章中，我不确定它的“车轮向后旋转”类比在电磁波或声波的背景下意味着什么，但我认为它可能只是“更多的信号”并组合 y 轴上的值。

所以我将其解释如下是否正确：

0Hz 处没有功率 [正确术语？]
在 +0.5Hz 和 +1Hz 有 1 个单位 (?) 的“功率”但是
…在 -0.5Hz 下还有 1 个单位的功率
…而在 -1Hz 时有 -1 单位的功率
所以在“现实世界” 0.5Hz 可能有 2 个单位的功率
但是在“现实世界” 1Hz 下可能有 0 个单位的实际功率？

或者理解上面的第一个傅里叶图并从中得出相关结果的最佳方法是什么？

1个回答

函数的傅里叶变换 $x(t)$ 定义为

\begin{matrix} (1) & X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t \end{matrix}

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\tag{1}$

自从 $e^{-j\omega t}$ 是复值，傅里叶变换 $X(\omega)$ 通常是复值函数，即使 $x(t)$ 是实值。

$\omega$ 是以弧度每秒 (rad/s) 为单位的频率，它与以赫兹为单位的频率有关 $f$ 经过 $\omega=2\pi f$ .

自从 $X(\omega)$ 一般是复数值的，可以用实部和虚部来表示

\begin{matrix} (2) & X (ω) = X_{R} (ω) + j X_{I} (ω) \end{matrix}

$X(\omega)=X_R(\omega)+jX_I(\omega)\tag{2}$

或通过其幅度和相位

\begin{matrix} (3) & X (ω) = | X (ω) | e^{j ϕ (ω)} \end{matrix}

$X(\omega)=|X(\omega)|e^{j\phi(\omega)}\tag{3}$

显然，实部和虚部与幅度和相位不同。

请注意，对于实值 $x(t)$ , 实部 $X_R(\omega)$ 和虚部 $X_I(\omega)$ 傅里叶变换 $X(\omega)$ 分别是偶函数和奇函数。因此，负频率分量是多余的，而正频率的频谱知识就足够了。如果你对权力感兴趣，你应该更喜欢阴谋 $|X(\omega)|^2=X_R^2(\omega)+X_I^2(\omega)$ （根据定义，它是非负的，因为它应该是能量或功率的情况）。功能 $|X(\omega)|^2$ 显示频率分量的分布 $x(t)$ .

正如您所注意到的，信号的直流分量为零，因为它随时间的平均值为零：

\begin{matrix} (4) & X (0) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) d t = 0 \end{matrix}

$X(0)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)dt=0\tag{4}$

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