信息处理 - 关于radix-2 DIT FFT和采样定理的问题 - 吾爱随笔录

关于radix-2 DIT FFT和采样定理的问题

信息处理 fft 自由度

2022-02-11 08:06:41

我目前正在阅读这篇文章并努力理解它。

根据文章，DFT如下：

X_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} e^{- \frac{2 π i}{N} n k} where k is integer and its range is [0, N-1]

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-\frac{2\pi i}{N}nk} \\\text{where k is integer and its range is [0, N-1]}$

这就是我的第一个好奇心产生的地方。根据采样定理，如果我们用个点来分析一个信号，我们只能看到如果是真的，频率的有效范围（即）不是，而不是文章中当前写的 $N/2$ $N$ $k$ $[0, N/2 - 1]$ $[0, N-1]$

我的第二个问题是，如果我们将分为偶数部分和奇数部分根据文章，可以改写如下： $k$ $x_n$ $X_k$

X_{k} = \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{2 m} e^{- \frac{2 π i}{N / 2} m k} + e^{- \frac{2 π i}{N} k} \cdot \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{2 m + 1} e^{- \frac{2 π i}{N / 2} m k} where k is integer and its range is [0, N/2-1]

$X_k=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{2m}e^{-\frac{2\pi i}{N/2}mk}+e^{-\frac{2\pi i}{N}k}\cdot\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{2m+1}e^{-\frac{2\pi i}{N/2}mk} \\\text{where k is integer and its range is [0, N/2-1]}$

我想的范围变成一半的原因是因为当我们将分成两部分因此，由于 - 点数 - 变为一半，由于采样定理 $k$ $n$ $x_n$ $n$ $x_n$

感谢您阅读我的问题，如果我弄错了什么，请纠正我。

2个回答

一个点 DFT $N$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j \frac{2 π}{N} n k}, k = 0, 1, . . ., N - 1

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} nk } ~~~,~~~ k = 0,1,...,N-1$

计算频域向量的复振幅，与跨越复值离散空间的每个不同的基向量相关联长度为 N 的时间序列。 $X[k]$ $e^{j \frac{2\pi k}{N}n}$ $k$

由于复指数的整数特性和周期性，因此长度为的离散时间序列最多允许个不同的复指数基向量。因此，最多可以有个不同的频率计算。这就是为什么频率索引的范围在到之间的原因。 $N$ $N$ $N$ $k$ $0$ $N-1$

但是，如果离散时间序列是实值的，那么可以看出它的 DFT 将是共轭对称的，，并且只有一半的频率计算足以表示整个，并且它可以重构，尽管 DFT 索引仍然被认为在到之间，尽管在后半部分是多余的。 $x[n]$ $X[k] = X^*[-k]$ $X[k]$ $x[n]$ $k$ $0$ $N-1$

谈到第二个问题，您是对的，当您将点 DFT X[k] 分解为其偶数和奇数索引序列时，新序列的长度将是一半，因此它们自己的索引范围也将减半. 但是，当它们组合在一起时，会有一个旋转胶因子，其频率指数范围仍然是到 ... $N$ $0$ $N-1$

对于您的第一个问题：DFT 还为负频率值生成 bin。在您最常看到的频谱图中，这些被忽略了，因为它们的幅度将与实际输入信号的正频率区间完全相同。对于实际输入，DFT 生成 Hermetian 对称输出，负频率 bin 是其正对应频率的复共轭。因此，采样定理在某种意义上当然是正确的，即只能频率，但 DFT 仍然会生成 $N/2$ $N$ 输出箱。

对于您的第二个问题：奇数和偶数箱中的分解就是这样：分解，一种写下或查看同一事物的不同方式。它与采样定理无关。

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