信息处理 - 对连续采样的影响。方差的随机过程 - 吾爱随笔录

对连续采样的影响。方差的随机过程

信息处理采样功率谱密度随机过程随机

2022-02-15 08:19:14

我试图从样本中了解对连续时间随机过程的功率谱密度的估计。

的普通广义静止白噪声过程。它的自相关是高度为的 dirac-delta 脉冲。根据 Wiener-Khinchin 定理，过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换，即常数。 $\sigma^2$ $\sigma^2$ $\sigma^2$

请注意，我避免声称过程中的任何的正态分布随机变量。显然，这个概念是有争议的。 $x(t)$ $\sigma^2$

在实践中，可以使用周期图/Bartlett/Welch 方法从 DFT 的过程的有限数量样本中估计功率谱密度。

我注意到，尝试在 MATLAB 中人工生成这些样本时，我需要使用假设的采样率来缩放方差，以便在我的周期图中获得正确的高度。 $f_s$

x = sigma * sqrt(fs) * randn(N, 1)

也许我只是没有认出它是什么，但我从未在文献中的任何地方发现过这个细节（除了关于 Simulink 的带限白噪声模块的文档）。这也许是有道理的，因为人们通常对真实过程进行采样并且不会尝试人为地生成这些样本，但也许有人可以解释或指出参考解释随机过程中一组样本的方差与属性之间的关系随机过程本身。例如，Papoulis 说样本过程的自相关是 cont 的样本版本。时间过程的自相关函数，但没有说明方差。

1个回答

为了获得有限的方差，白噪声必须在被采样之前进行带宽限制。如果频带限制为奈奎斯特频率或更小，则连续时间功率谱密度将等于离散时间功率谱密度，并且离散时间样本将是“白色”的，因为功率谱密度将均匀分布在奈奎斯特范围内。如果带宽限制为大于采样率（但小于 A/D 转换器的模拟带宽）的量，则离散时间功率谱密度将由于混叠而增加，可通过折叠的混叠数量来预测，最多可达ADC带宽。在没有进一步过滤信号的所有情况下，由 $\sigma^2$ 将是相同的。如果我们考虑以下直方图给出的随机过程的样本，我们可以直观地看到这一点；不管我们选择什么样的采样率，有足够数量的样本的直方图都将保持不变！我们认识到由 \sigma 给出的标准偏差，给出的方差或功率保持不变。（只要过程中没有限制用于原始直方图的带宽）。我们甚至不必均匀采样；唯一的标准是我们的抽样选择方法独立于原始抽样率（如果抽样）或随机过程本身（如果连续时间）：如果我们选择足够的样本进行统计显着性，我们将得到相同的标准偏差。 $\sigma$ $\sigma^2$

缩放的原因很简单：得到的周期图是功率谱密度，对于离散时间的白噪声过程，功率在奈奎斯特频带上均匀分布。通过缩放它，我们可以获得相同的功率谱密度：例如，如果我们将采样率加倍，我们需要将方差加倍以保持功率/Hz 的密度相同。 $f_s$

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