您的五点导数内核是一维内核。沿 x 轴应用它给出 x 的偏导数，沿 y 轴应用它给出 y 的偏导数。

这$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}$导数需要一个 2D 方形内核。通过应用两个一阶偏导数来计算它更有效。

$$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f = \left( \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \right) f = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial}{\partial y} f \right)$$

自从$\frac{\partial}{\partial x} f$是一个卷积，

$$\frac{\partial}{\partial x} f = k_x \ast f$$

我们可以把前面的方程写成

$$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial}{\partial y} f \right) = k_x \ast \left( k_y \ast f \right) = \left( k_x \ast k_y \right) \ast f$$

所以我们可以说你正在寻找的二维方形卷积核是$k_x \ast k_y$（和$k_x$计算 x 导数的内核和$k_y$计算 y 导数的那个）。请注意，如果您将 1D 内核视为向量，则此卷积等效于两个向量的外积。

然而，计算一个 5x5 内核的卷积（每个像素 25 个乘法和加法）比计算两个 5x1 和 1x5 内核的卷积（每个像素 10 次乘法和加法）更昂贵。我会依次计算两个一阶导数。