信息处理 - 傅里叶变换的难度 - 吾爱随笔录

傅里叶变换的难度

信息处理离散信号傅里叶变换连续信号傅立叶转换

2022-02-27 10:27:44

进行傅里叶变换的最佳方法是什么

f (t) \cdot \cos (π (t - 1))

$f(t)\cdot \cos\big(\pi(t-1)\big)$ 我知道当你进行傅里叶变换时

\cos (k t)

$\cos(kt)$ 您在以下位置获得两个冲动

k

$k$ . 而且那个

(t - 1)

$(t-1)$ 将创建一个复杂的指数。但是你只能在两个函数都时移时应用时移（至少据我所知）。真的

π

$\pi$ 和非时移

f (t)

$f(t)$ 真的让我失望。谢谢！

2个回答

很容易看出，在方程中使用三角恒等式 $(1)$ 以下

\begin{matrix} (1) & \cos (θ_{1} \pm θ_{2}) = \cos (θ_{1}) \cos (θ_{2}) \mp \sin (θ_{1}) \sin (θ_{2}) \end{matrix}

$\cos(\theta_1 \pm \theta_2) = \cos(\theta_1)\cos(\theta_2) \mp \sin(\theta_1)\sin(\theta_2) \tag{1}$ 我们有

\begin{aligned} f (t) \cos (π (t - 1)) & = f (t) \overset{use Equation (1)}{\overset{⏞}{\cos (π t - π)}} \\ (2) & \equiv - f (t) \cos (π t) \end{aligned}

$\begin{align} f(t)\cos\big(\pi(t - 1)\big) &= f(t)\overbrace{\cos(\pi t - \pi)}^{\text{use Equation}\ (1)}\\ &\equiv -f(t)\cos(\pi t)\tag{2} \end{align}$ 可以改写为

- f (t) \cos (π t) = - f (t) \cos (2 π \frac{t}{2}) = - f (t) \cos (2 π f_{c} t) where f_{c} = \frac{1}{2}

$-f(t)\cos(\pi t) = -f(t)\cos\left(2\pi \frac t2\right) = -f(t)\cos(2\pi f_c t)\quad\text{where}\quad f_c = \frac 12$ 我们知道方程中的傅里叶余弦调制频移特性

(3)

$(3)$ ：

\begin{matrix} (3) & F {x (t) \cos (2 π f_{c} t)} = \frac{1}{2} [X (f - f_{c}) + X (f + f_{c})] \end{matrix}

$\mathcal F\big\{x(t)\cos(2\pi f_c t)\big\} = \frac 12\big[X\left(f - f_c\right) + X\left(f + f_c\right)\big]\tag{3}$ 您现在可以轻松地使用方程式

(2)

$(2)$ 和

(3)

$(3)$ 找到解决方案。

我们有信号 $y(t) = f(t)cos(\pi t-\pi)$ . 您正在调制偏置的幅度 $\pi$ . 通过使用欧拉公式，您可以将信号重写为：

y (t) = f (t) \frac{1}{2} (e^{j (π t - π)} + e^{- j (π t - π)})

$y(t) = f(t)\frac{1}{2}\left(e^{j(\pi t - \pi)} + e^{-j(\pi t - \pi)}\right)$

y (t) = \frac{1}{2} f (t) e^{j (π t - π)} + \frac{1}{2} f (t) e^{- j (π t - π)}

$y(t) = \frac{1}{2}f(t)e^{j(\pi t - \pi)} + \frac{1}{2}f(t)e^{-j(\pi t - \pi)}$

y (t) = \frac{1}{2} f (t) e^{j π t} e^{- j π} + \frac{1}{2} f (t) e^{- j π t} e^{j π}

$y(t) = \frac{1}{2}f(t)e^{j\pi t}e^{-j\pi} + \frac{1}{2}f(t)e^{-j\pi t}e^{j\pi}$ 然后通过傅里叶变换我们得到：

Y (j ω) = \frac{1}{2} F (j (ω - π)) e^{- j π} + \frac{1}{2} F (j (ω + π)) e^{j π}

$Y(j\omega) = \frac{1}{2}F(j(\omega -\pi))e^{-j\pi} + \frac{1}{2}F(j(\omega+\pi))e^{j\pi}$

Y (j ω) = - \frac{1}{2} F (j (ω - π)) - \frac{1}{2} F (j (ω + π))

$Y(j\omega) = -\frac{1}{2}F(j(\omega -\pi)) -\frac{1}{2}F(j(\omega+\pi))$ 我们得到这个是因为

e^{- j π} = - 1

$e^{-j\pi}=-1$ 和

e^{j π} = - 1

$e^{j\pi}=-1$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇计算数字图像二阶偏导数的内核下一篇abs(fft(u.^2)) 和 abs((fft(u)).^2 之间是否存在关系