使用分布之间众所周知的关系和简单的代数极化恒等式的基本步骤序列提供了基本和直观的演示。

我发现这种极化恒等式通常可用于推理和计算随机变量的乘积，因为它将它们简化为平方的线性组合。这有点像通过首先对角化矩阵来处理矩阵。（这里不仅仅是表面上的联系。）

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拉普拉斯分布是两个指数的差（这在直觉上是有道理的，因为指数是“半拉普拉斯”分布）。（该链接通过操纵特征函数来证明这一点，但是可以使用根据将差异定义为卷积的基本积分来证明这种关系。）

指数分布（它本身是一个分布）也是一个（a 的缩放版本）分布。 比例因子是。通过比较两个分布的 PDF 可以很容易地看出这一点。$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

$\chi^2$分布自然地作为 iid 正态分布的平方和（均值为零）获得。自由度计算总和中正态分布的数量。$2$

代数关系

$$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$$

以四个分布的平方表示X_1X_2，每个分布都是标准法线的线性组合。很容易检查所有四个线性组合都是线性独立的（并且每个组合都遵循正态分布）。因此，前两项，将两个均值为零的同分布正态分布的平方相加，形成一个缩放分布（其比例因子正是使其成为指数分布所需要的），并且后两个项也独立地具有指数分布，出于同样的原因。$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

因此是两个独立指数分布的差，具有（标准）拉普拉斯分布。$X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$具有特征函数 ，它是产品标准正态的特征函数的平方（参见https ://math.stackexchange.com/questions/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables）。该主张的依据是独立随机变量的总和与特征函数的乘积有关。

$$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$$