我不认为你可以更直观地了解它然后再次说出它的作用：它为你感兴趣的东西 ，对于所有其他情况$1$$0$

因此，如果您想计算蓝眼睛的人，您可以使用指标函数，为每个蓝眼睛的人返回 1，否则返回 0，然后对函数的结果求和。

至于根据期望和指标函数定义的概率：如果将计数（或总和）除以案例总数，则得到概率。Peter Whittle 在他的《Probability and Probability via Expectation 》一书中写了很多关于这样定义概率的文章，甚至认为期望值和指标函数的这种用法是概率论的最基本方面之一。

至于你在评论中的问题

那里的随机变量不是为了同样的目的吗？像 和一样？$H=1$$T=0$

嗯，是的！事实上，在统计学中我们使用指标函数来创建新的随机变量，例如假设你有正态分布的随机变量，那么你可以使用指标函数创建新的随机变量，比如说$X$

$$I_{2<X<3} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad 2 < X < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

或者您可以使用两个伯努利分布的随机变量创建新的随机变量：$A,B$

$$I_{A\ne B} = \begin{cases} 0 & \text{if } & A=B, \\ 1 & \text{if } & A \ne B \end{cases}$$

...当然，您也可以使用任何其他函数来创建新的随机变量。如果您想关注某些特定事件并在它发生时发出信号，指示器功能会很有帮助。

对于物理指标函数，假设您使用红色油漆标记了六面骰子的一面墙，因此您现在可以计算红色和非红色结果。骰子本身的随机性并不低，而它是一个新的随机变量，以不同的方式定义结果。

您可能也有兴趣阅读关于概率和统计中使用的狄拉克三角洲，例如指标函数的连续对应物。

另请参阅：为什么在伯努利分布中失败为 0，成功为 1？

指标随机变量很有用，因为它们提供了概率和期望之间的无缝连接。考虑在指示随机变量的帮助下证明马尔可夫不等式是多么容易：设是一个非负随机变量，，然后注意不等式。然后我们可以只取双方的期望并做一些代数得到。其他证明，例如包含-排除公式的证明，也利用了这种联系。事实上，整个条件概率理论可以从条件期望理论发展而来。$X$$\alpha > 0$$\alpha I_{\{ X \geq \alpha \}} \leq X$$P(X \geq \alpha) \leq \text{E}(X) / \alpha$

它们也很好，因为它们是幂等的，意味着，这使得计算方差变得容易。此外，指标随机变量的乘积本身就是指标随机变量，其期望是交集的概率。$I_A^2 = I_A$

最后，虽然指标函数并不是一个真正的概率事物，但它是将布尔运算转换为算术运算的好方法，这对于一般编程目的很有帮助。例如，和。$I_{A \cup B} = \max(I_A, I_B)$$I_{A \cap B} = \min(I_A, I_B)$

我也在这个话题上苦苦挣扎，我发现最直观的反映是truncation。指示函数有效地截断密度。

(Train, 2009) 中的一个例子可以说明这一点（例如一些）： $v = 2$

$$\text{P}(\varepsilon>-v) = \int_{-\infty}^{\infty}1_{\{\varepsilon \:>\: -v\}} \cdot f(\varepsilon)d\varepsilon \\ = \int_{-v}^{\infty} f(\varepsilon)d\varepsilon = F(\varepsilon)|_{-v}^{\infty} = F(\infty) - F(-v) = 1 -F(-v)$$

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OP 中的最后一条语句也绝不是直观的。在我看来，最简单的方法是使用LOTUS。 指示函数是一个函数，所以我们可以直接把它代替。让我们举一个简单的例子，比如。

$$\mathbb{E}[\: g(x) \: ] = \int_X g(x)\cdot f(x)dx$$ $g(x)$$A = \{x| x > a\}$

$$\mathbb{E}[1_A] = \int_{-\infty}^{\infty}1_{\{x>a\}}\cdot f(x)dx = \int_{a}^{\infty} f(x)dx = P(x>a)= P(A)$$

希望这可能会有所帮助。