如果的 CDF由表示，则最小值的 CDF 由给出。$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

推理：给定随机变量，概率意味着至少有一个小于。$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

至少有一个小于的概率等于 1 减去所有大于的概率，即。$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

如果大于的概率为。因此，原始概率为。$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

示例：说，那么直观的概率应该等于 1（因为最小值总是小于 1，因为代表所有）。在这种情况下，因此概率始终为 1。$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

如果$X_i$的 cdf由$F(x)$表示，则最小值的 cdf 由$1-[1-F(x)]^n$给出。

Rob Hyndman 给出了固定 n 的简单准确答案。如果您对大 n 的渐近行为感兴趣，请在极值理论领域处理。有一小部分可能的限制分布；例如，参见本书的前几章。