我将假设随机变量是独立的，OP没有包含在问题陈述中的条件。有了这个假设，我们有 如果上面的第一个乘积项相乘，其中一个展开式中的项抵消了上面的第二个乘积项。因此，对于$X_1, X_2, \cdots , X_n$

$$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$$ $n=2$，我们得到了 OP 所述的结果。正如@Macro 指出的那样，对于，我们不需要假设 和是独立的：和不相关且和 也不相关的较弱条件就足够了。但是对于，缺乏相关性是不够的。独立就够了，但不是必须的。所需要的是将上述产品的期望分解为期望产品，这是独立性保证的。$n=2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1^2$$X_2^2$$n \geq 3$