大多数后验证明难以解析优化（即通过采用梯度并将其设置为零），您需要借助一些数值优化算法来进行 MAP。

顺便说一句：MCMC 与 MAP 无关。

MAP - 对于后验最大值- 是指找到与后验密度成比例的事物的局部最大值，并使用相应的参数值作为估计值。它被定义为

$$\hat{\theta}_{MAP} = \text{argmax}_{\theta} \, p(\theta \, | \, D)$$

MCMC 通常用于近似与概率密度成比例的期望值。在后验的情况下，那是

$$\hat{\theta}_{MCMC} = n^{-1} \sum_{i=1}^{n} \theta^{0}_{i} \approx \int_{\Theta}\theta \, p(\theta \, | \, D)d\theta$$

其中是合适的马尔可夫链访问的参数空间位置的集合。一般来说，在任何有意义的意义上。$\{\theta^{0}_{i}\}^{n}_{i=1}$$\hat{\theta}_{MAP} \neq \hat{\theta}_{MCMC}$

关键在于 MAP 涉及优化，而 MCMC 则基于采样。

如果您知道您的后验来自哪个家庭，并且如果找到该分布的导数在分析上是可行的，那是正确的。

但是，当您使用 MCMC 时，您可能不会遇到这种情况。MCMC适用于您对后部的外观没有清晰分析概念的情况。

不需要（或建议）使用 MCMC 来计算 MAP 估计值。通常，您将无法求解 MAP 目标导数的根。但是，您可以使用数值优化来近似最大化目标。如前所述，MCMC 是一种抽样方法，而 MAP 估计是一个优化问题。MAP 估计只要求我们能够在给定的处评估（未归一化的）后验分布，并且只给我们关于该后验的一条信息。通过对难以处理的后验进行近似采样，MCMC 方法使我们能够了解有关后验分布的所有信息。$\theta$