您可以通过应用 Talagrand 不等式获得上限：查看 Chatterjee 的书（例如超集中现象）。

它告诉你。${\rm Var}(f)\leq C\sum_{i=1}^n\frac{\|\partial_if\|_2^2}{1+\log( \|\partial_i f||_2/\|\partial_i f\|_1)}$

对于最大值，你得到，然后通过对上的高斯度量进行积分，你得到 对称。（在这里，我选择了我所有的 rv iid 方差一）。$\partial_if=1_{X_i=max}$$\mathbb{R}^n$$\|\partial_if\|_2^2=\|\partial_if\|_1=\frac{1}{n}$

这是方差的真实顺序：由于您对最大值的期望有一些上限，因此 Eldan-Ding Zhai 的这篇文章（关于高斯上确界的多个峰值和中等偏差）告诉您
${\rm Var}(\max X_i)\geq C/(1+\mathbb{E}[\max X_i])^2$

也有可能获得反映这些方差界限的尖锐集中不等式：您可以查看http://www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/papers/ranDv.pdf 或者，对于更一般的高斯过程，在我的论文 https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf

总的来说，很难找到高斯上定方差的正确数量级，因为来自浓度理论的工具对于最大函数总是次优的。

如果我可以问，你为什么需要这些估计？

更一般地说，范围的期望和方差取决于分布的尾部有多胖。对于方差，它是，其中取决于您的分布（均匀，高斯）请参见此处。下表显示了该范围的数量级。$O(n^{-B})$$B$$B = 2$$B = 1$$B = 0$